Question

16．在靜止的液體中下落的物體受到的阻力與速度成正比，即f=kv，所以最終會達到一個恒定的速度，稱之為收尾速度．一個質(zhì)量為m的半徑非常小的鐵球甲，緊貼水面由靜止釋放，此時在甲球正上方h處的一個完全相同的小球乙也由靜止釋放．若鐵球在水中所受浮力保持不變恒為F，重力加速度為g，忽略空氣阻力以及球的運動對液體的擾動，且水足夠深．
（1）求乙球剛進入水面時的加速度；
（2）若將甲乙兩球均由緊貼水面處先后由靜止釋放，釋放的時間間隔為t，計算兩球在運動過程中的最大距離．
（3）下落過程中，若乙球恰能追上甲球，追上時甲球下落的高度為H，追上之前乙球一直做減速運動，求該過程乙球克服水的阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）乙球先在空中做自由落體運動，由運動學公式得到剛進入水面時的速度，在水中，由牛頓第二定律求加速度．
（2）當兩球都達到收尾速度的時候，二者之間的距離最大，由平衡條件和題中信息求出收尾速度，再由勻速運動的規(guī)律求最大間距．
（3）乙球恰好追上甲球，說明追上時，乙球的速度達到收尾速度．對乙球，根據(jù)動能定理求克服水的阻力做的功．

解答 解：（1）根據(jù)自由落體運動，則乙球剛進入水面時速度為：v_乙=$\sqrt{2gh}$
根據(jù)牛頓第二定律：
對乙球：mg-F-k$\sqrt{2gh}$=ma，則 a=g-$\frac{F+k\sqrt{2gh}}{m}$．
（2）根據(jù)題意可以知道，當二者都達到收尾速度的時候，二者之間的距離最大，故：
mg-F-kv=0，則：v=$\frac{mg-F}{k}$
故兩球在運動過程中的最大距離△x=vt=$\frac{mg-F}{k}$t．
（3）根據(jù)題意，乙球恰好追上甲球，說明追上時，乙球的速度達到收尾速度v=$\frac{mg-F}{k}$
則對乙球根據(jù)動能定理：
mg（h+H）-FH-W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
整理可以得到乙球克服水的阻力為：
W_f=FH-mg（h+H）-$\frac{1}{2}m（\frac{mg-F}{k}）^{2}$
答：（1）乙球剛進入水面時的加速度是g-$\frac{F+k\sqrt{2gh}}{m}$；
（2）兩球在運動過程中的最大距離是$\frac{mg-F}{k}$t．
（3）該過程乙球克服水的阻力做的功是FH-mg（h+H）-$\frac{1}{2}m（\frac{mg-F}{k}）^{2}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵首先要讀懂題意，理解收尾速度的含義，明確兩球在下落過程中的運動情況，分段運用動能定理和牛頓第二定律．