Question

11．如圖（甲）所示，在xOy平面內(nèi)有足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上，電場(chǎng)強(qiáng)度E=40N/C．在_y軸左側(cè)平面內(nèi)有足夠大的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁隨時(shí)間t變化 規(guī)律如圖（乙）所示（不考慮磁場(chǎng)變化所產(chǎn)生電場(chǎng)的影響），15πs后磁場(chǎng)消失，選定磁 場(chǎng)垂直紙面向里為正方向．在y軸右側(cè)平面內(nèi)分布一個(gè)垂直紙面向外的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），半徑r=0.3m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.8T，且圓的左側(cè)與y軸始終相切．T=0 時(shí)刻，一質(zhì)量m=8x10⁴kg、電荷謂q=+2xl0^-4C的微粒從x軸上x_p-0.8m處的P點(diǎn)以 速度v=0.12m/s沿x軸正方向射入，經(jīng)時(shí)間t后，從y軸上的A點(diǎn)進(jìn)入第一象限并正對(duì) 磁場(chǎng)圓的圓心，穿過(guò)磁場(chǎng)后擊中x軸上的M點(diǎn)．（取g=10m/s²、π=3，最終結(jié)果保留2 位有效數(shù)字）求：
（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)y_A及從P點(diǎn)到A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t
（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)x_M
（3）要使微粒在圓磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角最大，應(yīng)如何移動(dòng)圓磁場(chǎng)？并計(jì)算出最大偏轉(zhuǎn)角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電場(chǎng)力等于重力，則洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，得出半徑與周期公式．并根據(jù)幾何關(guān)系與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的位移，即可求解；
（2）根據(jù)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出半徑．從而得出與已知長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系，最終求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圓磁場(chǎng)與運(yùn)動(dòng)圓形軌跡，借助于幾何關(guān)系，即可求解．

解答 解：（1）電場(chǎng)力：F_電=qE=8×10^-3N=mg，
微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
帶入數(shù)據(jù)解得：R₁=0.6m，
微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=10π s；                  
從乙圖可知：
0--5πs時(shí)間內(nèi)，微粒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：R₁＜|x_P|，
微粒運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周后到達(dá)C點(diǎn)，x_C=-0.8m，y_C=2R₁=1.2m，
5πs--10πs時(shí)間內(nèi)，微粒向左做勻速運(yùn)動(dòng)，位移大小：s₁=v$\frac{T}{2}$=$\frac{3π}{5}$=1.8m，
運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)：x_D=-2.6m，y_D=1.2m
10πs～15πs時(shí)間內(nèi)，微粒又做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)：x_E=-2.6my_E=4R₁=2.4m
此后微粒做勻速運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)：y_A=4R₁=2.4m          
軌跡如圖所示：

從P到A的時(shí)間：t=15π+t_EA 或者t=2T+$\frac{|{x}_{P}|}{v}$，解得：t≈67s；
（2）微粒進(jìn)入圓形磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R₂=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$=0.6m，
設(shè)軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{r}{{R}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
M點(diǎn)：x_M=r+$\frac{{y}_{A}}{tanθ}$=0.3+$\frac{2.4}{tanθ}$ （m）                
由數(shù)學(xué)知識(shí)可得：tanθ=$\frac{2tan\frac{θ}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{θ}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
所以：x_M=2.1m；
（3）微粒穿過(guò)圓形磁場(chǎng)要求偏轉(zhuǎn)角最大，必須入射點(diǎn)與出射點(diǎn)連線為磁場(chǎng)圓的直徑，
則圓形磁場(chǎng)應(yīng)沿y軸負(fù)方向移動(dòng)0.15m，因?yàn)椋篟₂=2r，所以最大偏轉(zhuǎn)角為θ′=60°；
答：（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)y_A及從P點(diǎn)到A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間67s；  
（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)×_x為2.1m；
（3）要使微粒在圓磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角最大，應(yīng)圓形磁場(chǎng)應(yīng)沿y軸負(fù)方向移動(dòng)0.15（m），且計(jì)算出最大偏轉(zhuǎn)角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題是力學(xué)與電學(xué)綜合題，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律與幾何關(guān)系相結(jié)合，同時(shí)運(yùn)用力學(xué)與電學(xué)的知識(shí)來(lái)解題，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題的方法，提升解題的能力．