Question

5．如圖所示，天花板上有固定轉(zhuǎn)軸O，長為L的輕質(zhì)絕緣桿，一端可繞轉(zhuǎn)軸o在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，另一端固定一質(zhì)量為M的帶電量為q（q＞0）的小球．空間存在一豎直向下場強大小E=$\frac{Mg}{q}$的勻強電場．一根不可伸長的足夠長絕緣輕繩繞過定滑輪A，一端與小球相連，另一端掛著質(zhì)量為m₁的鉤碼，定滑輪A的位置可以沿OA連線方向調(diào)整．小球、鉤碼均可看作質(zhì)點，不計一切摩擦．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）若將OA間距調(diào)整為$\sqrt{3}$L，則當輕桿與水平方向夾角為30°時小球恰能保持靜止狀態(tài)，求小球的質(zhì)量M與鉤碼的質(zhì)量m₁之比；
（2）若在輕繩下端改掛質(zhì)量為m₂的鉤碼，且M：m₂=4：1，并將OA間距調(diào)整為$\frac{4}{3}$L，測得桿長L=0.87m，仍將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，當輕桿轉(zhuǎn)至豎直位置時，小球突然與桿和繩脫離連接而向左水平飛出，求當鉤碼上升到最高點時，且鉤碼未碰上滑輪小球還未落到地上，求此時小球與O點的豎直距離h．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)幾何關系找出角度關系，據(jù)平衡態(tài)列方程求解；
（2）根據(jù)運動的合成與分解，找出小球速度與鉤碼速度之間的關系，結合功能關系，求出小球到達O點正下方時小球與鉤碼速度；小球脫離后，做類平拋運動，鉤碼豎直上拋運動，求出鉤碼上升到最高點的時間，再由運動學公式求出小球類平拋的豎直位移，最后根據(jù)幾何關系求出小球與O點的豎直距離

解答 解：（1）依題意，小球處于靜止狀態(tài)時，∠AOM=30°，由幾何關系知，此時∠OAM=30°．
分析小球受力，設輕桿對其彈力大小為F，方向沿桿向上，輕繩對其彈力大小為T，則

Fcos30°=Tcos30°
Fsin30°+Tsin30°=Mg+qE
且 qE=Mg
解得   M=$\frac{1}{2}$m₁，即     M：m₁=1：2    
（2）小球繞O點作圓周運動，當小球到達O點正下方P點時，設其速度為V₁，鉤碼速度為V₂，

設此時輕繩AP與水平方向夾角為θ，OP=L     OA=$\frac{4}{3}L$  則
由tanθ=$\frac{OP}{OA}$=0.75，得θ=37⁰
速度關系為：V₂=V₁cosθ              
對小球與鉤碼構成的系統(tǒng)由功能關系，有
$qEL+MgL-{m}_{2}^{\;}g$$[\sqrt{{L}_{\;}^{2}+（\frac{4}{3}L）_{\;}^{2}}-（\frac{4}{3}L-L）]$=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}^{\;}{v}_{2}^{2}$
又    M：m₂=4：1    
解得       v₁=5m/s，v₂=4m/s        
鉤碼做豎直上拋運動，上升到最高點的時間 $t=\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}=\frac{4}{10}s=0.4s$
小球離開桿后做平拋運動，在豎直方向的加速度為a，
則$a=\frac{Mg+qE}{M}=2g=20m/{s}_{\;}^{2}$
在豎直方向的加速位移為y，則$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=1.6m$
故小球與O點的豎直距離為  h=y+L=1.6+0.87=2.47m          
答：（1）若將OA間距調(diào)整為$\sqrt{3}$L，則當輕桿與水平方向夾角為30°時小球恰能保持靜止狀態(tài)，小球的質(zhì)量M與鉤碼的質(zhì)量m₁之比1：2；
（2）當鉤碼上升到最高點時，且鉤碼未碰上滑輪小球還未落到地上，此時小球與O點的豎直距離h2.47m．

點評 本題難度較大，分清楚物體的受力情況和運動情況 是解題的關鍵；靈活應用和運動與分運動的關系、功能關系和運動規(guī)律求出速度，再求出時間，據(jù)此求出距離是解題的核心．