Question

（18分）如圖所示，以A、B和C、D為斷點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C兩點(diǎn)，一物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)被牢固粘連。物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m,滑板質(zhì)量為M=2m，兩半圓半徑均為R,板長(zhǎng)l=6.5R,板右端到C點(diǎn)的距離L在R<L<5R范圍內(nèi)取值，E點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，重力加速度g已知。

(1)求物塊滑到B點(diǎn)的速度大小;
(2)求物塊滑到B點(diǎn)時(shí)所受半圓軌道的支持力的大小;
(3)試討論物塊從滑上滑板到離開(kāi)右端的過(guò)程中，克服摩擦力做的功與L的關(guān)系;并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點(diǎn)。

Answer 1

（1）（2）10mg
（3）?當(dāng)R<L<2R時(shí)，；
?當(dāng)2R≤L<5R時(shí),；
不能滑到CD軌道中點(diǎn)。

（1）設(shè)物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為u_B,對(duì)物體從E到B過(guò)程，
根據(jù)動(dòng)能定理得
解得：
（2）物塊在B點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律午
解得：
（3）物塊從B滑上滑板后開(kāi)始作勻減速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滑板開(kāi)始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊與滑板達(dá)共同速度時(shí)，二者開(kāi)始作勻速運(yùn)動(dòng)。
由動(dòng)量定理
它們的共同速度為
此過(guò)程，對(duì)物塊據(jù)動(dòng)能定理得
解得s₁=8R
此過(guò)程，對(duì)滑板據(jù)動(dòng)能定理得
解得s₂=2R
由此可知物塊在滑板上滑過(guò)s₁－s₂=6R時(shí)，二者就具有共同速度了。因?yàn)?R<6.5R,所以物塊并沒(méi)有從滑板上滑下去
討論：
?當(dāng)R<L<2R時(shí)，物塊在滑板上一直勻減速運(yùn)動(dòng)至C，運(yùn)動(dòng)的位移為6.5R+L，克服摩擦力做的功
設(shè)滑上C點(diǎn)的速度為，對(duì)物塊根據(jù)動(dòng)能定理得

解得，所以物塊不可能滑到CD軌道的中點(diǎn)
?當(dāng)2R≤L<5R時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)的勻減速運(yùn)動(dòng)8R，勻速運(yùn)動(dòng)L-2R，再勻減速運(yùn)動(dòng)0.5R，克服摩擦力做的功
解得，所以物塊不能滑到CD軌道的中點(diǎn)
（也可以由可看出只要物塊與滑板達(dá)到共同速度，就不能滑到CD軌道的中點(diǎn)）
（事實(shí)上由，看出只要摩擦力做功的位移超過(guò)7R，物塊就不能沖到CD軌道的中點(diǎn)。由S₁=8R>7R知道達(dá)到共同速度必然沖不到CD軌道中點(diǎn);而由已知6.5R+L>7.5R>7R即若不能達(dá)到共同速度，同樣沖不到CD軌道中點(diǎn)。）