Question

如圖，A、B兩物體用彈簧相連，放在光滑水平面上.其中A物體靠墻放.現(xiàn)用外力將B左推至彈簧彈性勢(shì)能為8 J處，此處B也靜止不動(dòng).撤去外力，求：

(1)若A、B質(zhì)量都為1 kg，至B的速度第一次達(dá)到最大過(guò)程中，墻給A的沖量；
(2)在A剛要離開(kāi)墻時(shí)，記下A、B的速度，這兩個(gè)速度第n次交換時(shí)，彈性勢(shì)能多大？n=1、2、3……A、B質(zhì)量都為1 kg.
(3)若A、B質(zhì)量分別為1 kg、2 kg，求撤去外力后，彈簧第n次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A、B速度各多大？分奇數(shù)、偶數(shù)討論.

Answer 1

(1)4 N?s(2)零(3)奇數(shù)次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，v_B′=2 m/s,v_A′=0偶數(shù)次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，v_B′= m/sv_A′= m/s解析：(1)將A、B和彈簧看作系統(tǒng)，墻給A的沖量等于B的動(dòng)量變化，I=mv.由mv²=8得v=4 m/s,所以I_A=mv=4 N?s. (4分)(2)A剛要離開(kāi)墻時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)，系統(tǒng)只有動(dòng)能.A、B交換速度是在A、B相互作用剛好結(jié)束時(shí)，總動(dòng)能不變，所以彈性勢(shì)能為零. (4分)(3)在彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，由m_Bv_B²=8,v_B=2 m/s,動(dòng)量m_Bv_B=2×2 kg?m/s=4 kg?m/s.以后的過(guò)程中系統(tǒng)總動(dòng)量守恒m_Bv_B=m_Bv_B′+m_Av_A′代入數(shù)據(jù)得4=2v_B′+v_A′ ①在恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，無(wú)彈性勢(shì)能，由機(jī)械能守恒，有8=m_Bv_B′²+m_Av_A′²代入數(shù)據(jù)得16=2v_B′²+v_A′² ②①②消去v_A′得3v_B′²－8v_B′+8=0所以v_B′=第一組解：當(dāng)v_B′=2 m/s時(shí),v_A′=0第二組解：當(dāng)v_B′= m/s時(shí),v_A′= m/s.討論：分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程知，彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，v_A=0,v_B=2 m/s;第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，由于之前A一直加速，此時(shí)應(yīng)v_A′>v_B′,即v_A′= m/s,v_B′= m/s;第三次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，由于之前A一直減速，B一直加速，此時(shí)應(yīng)v_A″=0,v_B″=2 m/s;依此類(lèi)推：奇數(shù)次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A、B的速度為第一組解.偶數(shù)次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，A、B的速度為第二組解. (8分)