Question

6．AB為豎直轉(zhuǎn)軸，細繩AC、AB的結點C系一質(zhì)量為m的小球，兩繩子能承受的最大拉力均為2mg，當AC、AB拉直時，∠ABC=90°，∠ACB=53°，BC長1m．ABC可繞軸AB勻速轉(zhuǎn)動，因而小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動．問：
（1）當小球的線速度增大時，分析AC和BC哪根繩子先斷？并求出此時小球的線速度？
（1）當小球的線速度為多大時，第二根繩子斷掉，并求此時繩子與AB軸的夾角多大？

Answer 1

分析 （1）當小球線速度增大時，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時，對小球進行受力分析，合外力提供向心力，求出A繩的拉力，線速度再增大些，T_A不變而T_B增大，所以BC繩先斷，結合牛頓第二定律求出此時小球的線速度；
（2）當BC繩斷之后，小球線速度繼續(xù)增大，小球m作離心運動，AC繩與豎直方向的夾角α增大，當夾角達到一定值，AC繩斷開，對球進行受力分析，根據(jù)合外力提供向心力列式求解．

解答 解：（1）當小球線速度增大時，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時，
對球：T_ACsin53°-mg=0…①
${T}_{AC}cos53°+{T}_{BC}=m\frac{{v}^{2}}{r}$…②
由①可求得AC繩中的拉力${T}_{AC}=\frac{5}{4}mg$，線速度再增大些，T_AC不變而T_BC增大，所以BC繩先斷．
當BC繩剛要斷時，拉力為2mg，
有：$\frac{5}{4}mg×0.6+2mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$，代入數(shù)據(jù)解得v=5.24m/s．
（2）當BC線斷后，AC線與豎直方向夾角α因離心運動而增大，當使球速再增大時，角α隨球速增大而增大，
根據(jù)Tcosα=mg知，當α=60°時，T_AC=2mg，AC也斷．
根據(jù)${T}_{AC}sin60°=m\frac{{v}^{2}}{{L}_{AC}sin60°}$得，v=5m/s．
答：（1）BC繩先斷，此時小球的線速度為5.24m/s；
（2）當小球的線速度為5m/s時，第二根繩子斷掉，此時繩子與AB軸的夾角為60°．

點評 解決本題的關鍵搞清向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)的特點，運用牛頓第二定律進行求解．