Question

1．如圖（甲）所示，M、N為豎直放置、彼此平行的兩塊平板，兩板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′正對(duì)，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖（乙）所示．有一正離子在t=0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場(chǎng)，已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q，正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T₀．不考慮由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的電場(chǎng)的影響，不計(jì)正離子所受重力．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大�。�
（2）若射入磁場(chǎng)時(shí)速度v₀=$\frac{5πd}{2{T}_{0}}$，正離子能否從O′點(diǎn)射出？若不能，它將打到N板上離O′點(diǎn)多遠(yuǎn)處？
（3）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)速度v₀應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）離子在洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，可確定磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）根據(jù)半徑公式與幾何關(guān)系，從而求出打到N板上離O′點(diǎn)的距離；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡，正離子在兩板之間可運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期即nT₀，由v₀=$\frac{5πd}{2{T}_{0}}$可得到離子射入磁場(chǎng)時(shí)速度大�。�

解答 解：（1）正離子射入磁場(chǎng)，洛侖茲力提供向心力
根據(jù)牛頓第二定律，則有：B₀qv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$ ①
做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，T₀=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$ ②
聯(lián)立①②兩式得磁感應(yīng)強(qiáng)度 B₀=$\frac{2πm}{q{T}_{0}}$ ③
（2）將v₀=$\frac{5πd}{2{T}_{0}}$代入②得：
  R=1.25d       ④
因R＞d，所以正離子不能從O′點(diǎn)射出．正離子在MN間的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖所示．設(shè)離子將打到圖中的C點(diǎn)，C點(diǎn)離O′點(diǎn)的距離為x．
則 x=R-$\sqrt{{R}^{2}-qxulawc^{2}}$=0.5d ⑤
（3）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，v₀的方向應(yīng)如下圖所示，正離子在兩板之間可運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期即nT₀，則d=4nR，（n=1、2、3…）  ⑥
聯(lián)立①、⑥式得 v₀=$\frac{{B}_{0}qR}{m}$=$\frac{πd}{2n{T}_{0}}$，（n=1、2、3…）
答：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小為$\frac{2πm}{q{T}_{0}}$；
（2）若射入磁場(chǎng)時(shí)速度，正離子不能從O′點(diǎn)射出，它將打到N板上離O′點(diǎn)0.5d遠(yuǎn)處；
（3）要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場(chǎng)，正離子射入磁場(chǎng)時(shí)速度v₀應(yīng)為$\frac{πd}{2n{T}_{0}}$，（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查離子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握牛頓第二定律在其應(yīng)用，并掌握幾何關(guān)系的重要性，特別畫出正確的運(yùn)動(dòng)的軌跡，同時(shí)運(yùn)用離子在兩板間運(yùn)動(dòng)的周期性．