Question

4．如圖所示，傾角為α的傳送帶，以一定的速度將送料機送來的貨物傳送到倉庫里，送料漏斗出口P距傳送帶的豎直高度為H，送料管PQ的內壁光滑且有一定的伸縮性（即，在PQ管與豎直夾角θ取不同值時，通過伸縮其長度總能保持其出口Q很貼近傳送帶），為使被送料能盡快地從漏斗出口P點通過送料直管運送到管的出口Q點，送料直管與豎直方向夾角應取何值，料從P到Q所用時間最短，最短時間是多少？

Answer 1

分析 運用作圖法，以P為最高點畫一個圓，使它與傳送帶相切，結合等時圓法判斷何時運動的時間最短，結合幾何關系進行求解．

解答 解：以P為最高點畫一個圓，使它恰與傳送帶相切，切點為Q，那么PQ就是所求的斜面，因為沿其他斜面下滑到達圓周上的時間相等，所以到達傳送帶上的時間必大于從P到Q的時間，因為Q為切點，所以半徑OQ與斜面垂直，∠QOC=α，又因為△PQO為等腰三角形，所以當送料直管與豎直方向夾角為$\frac{α}{2}$時，料從P到Q所用時間最短．
PQ=$2Rcos\frac{α}{2}$，加速度a=$gcos\frac{α}{2}$，根據$2Rcos\frac{α}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$．
根據數學知識求得R=$\frac{Hcosα}{2co{s}^{2}\frac{α}{2}}$，可知$t=\sqrt{\frac{2Hcosα}{gco{s}^{2}\frac{α}{2}}}$．
答：當送料直管與豎直方向夾角為$\frac{α}{2}$時，料從P到Q所用時間最短，最短時間為$\sqrt{\frac{2Hcosα}{gco{s}^{2}\frac{α}{2}}}$．

點評 本題運用作圖法，結合等時圓的方法解決比較簡捷，也可以結合運動學公式、牛頓第二定律得出運動時間的關系式，結合數學函數關系進行求解．難度中等．