Question

8．如圖所示，傾角為45°的光滑軌道OA和水平軌道AC在A處用一小段光滑圓弧軌道平滑連接，AC段的中點(diǎn)B的正上方有一探測器，探測器只能探測處于其正下方的物體，C處有一豎直擋板，AC間的動(dòng)摩擦因素為μ=0.1．一小物塊P自傾斜軌道OA上離水平軌道AC高h(yuǎn)處由靜止釋放，以小物塊P運(yùn)動(dòng)到A處的時(shí)刻為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，探測器只在t₁=2s至t₂=6s內(nèi)工作，已知P的質(zhì)量為m=1kg，AB段長為L=4m，g取10m/s²，P視為質(zhì)點(diǎn)，P與擋板碰撞后原速率反彈．（結(jié)果不用取近似值）
（1）若h=1.2m，求P與擋板碰撞反彈后運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間．
（2）若P與擋板碰撞后，能在探測器的工作時(shí)間內(nèi)通過B點(diǎn)，求h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先研究物塊在斜面上下滑的過程，由牛頓第二定律求出加速度，由速度位移關(guān)系公式求出物塊到達(dá)A點(diǎn)的速度v．再研究物塊在AC上滑行的過程，由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解時(shí)間t即可．
（2）結(jié)合上題的結(jié)果得到v與時(shí)間t的關(guān)系式，當(dāng)物體P反彈后到達(dá)B點(diǎn)的速度恰好為0時(shí)，求出時(shí)間，從而得到時(shí)間范圍，解出速度v的范圍，從而得到h的范圍．

解答 解：（1）設(shè)物塊沿傾斜軌道AB運(yùn)動(dòng)的加速度為a₁，由牛頓第二定律有：
   mgsin45°=ma₁              ①
設(shè)物塊到達(dá)A處的速度為v，由速度位移關(guān)系有：
   v²=2a₁$\frac{h}{sin45°}$                ②
由于P與擋板的碰撞為彈性碰撞．故P在AC間等效為勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)P在AC段加速度大小為a₂，
則 a₂=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.1×10m/s²=1m/s² ③
P返回經(jīng)過B時(shí)，有：3L=vt-$\frac{1}{2}$a₂t² ④
聯(lián)立①②③④解得  t=2s         ⑤
（2）由③④解得：v=$\frac{{t}^{2}+24}{2t}$      ⑥
當(dāng)t=2$\sqrt{6}$s時(shí)，物體P反彈后到達(dá)B點(diǎn)的速度恰好為0，故探測器能探測到物體P的時(shí)間滿足 2s≤t≤2$\sqrt{6}$s         
所以解得v的取值范圍 2$\sqrt{6}$m/s≤v≤7m/s ⑦
聯(lián)立①②⑦可得  解得h的取值范圍  1.2m≤h≤2.45m     ⑧
答：
（1）P與擋板碰撞反彈后運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間是2s．
（2）h的取值范圍為 1.2m≤h≤2.45m．

點(diǎn)評(píng) 正確分析物體的受力情況，求解加速度是解答本題的基礎(chǔ)，熟悉運(yùn)動(dòng)學(xué)公式是正確解題的關(guān)鍵，要把握隱含的臨界狀態(tài)：物體P反彈后到達(dá)B點(diǎn)的速度恰好為0，運(yùn)用函數(shù)法研究h的范圍．