Question

17．如圖所示，圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)半徑R=4cm，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=10^-2T，方向垂直紙面向外，其上方有一對(duì)水平放置的平行金屬板M、N，間距為d=2cm，N板中央開(kāi)有小孔S．小孔位于圓心O的正上方，S與O的連線交磁場(chǎng)邊界于A．$\overline{SA}$=2cm，兩金屬板通過(guò)導(dǎo)線與寬度為L(zhǎng)₁=0.5m的金屬導(dǎo)軌相連，導(dǎo)軌處在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=1T．有一長(zhǎng)為L(zhǎng)₂=1m的導(dǎo)體棒放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好且始終與導(dǎo)軌垂直．現(xiàn)對(duì)導(dǎo)體棒施一力F，使導(dǎo)體棒以v₁=8m/s勻速向右運(yùn)動(dòng)．有一比荷$\frac{q}{m}$=5×10⁷C/kg的粒子（不計(jì)重力）從M板處由靜止釋放，經(jīng)過(guò)小孔S，沿SA進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，求：
（1）導(dǎo)體棒兩端的電壓；
（2）M、N之間場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向；
（3）粒子在離開(kāi)磁場(chǎng)前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間（計(jì)算時(shí)取π=3）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公式E=BLv求出導(dǎo)體棒兩端的電壓；
（2）結(jié)合上題的結(jié)果求出M、N之間的電壓，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度公式E=$\frac{U}331kost$，求出M、N之間場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向；
（3）帶電粒子在電場(chǎng)中加速，再在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式和圓心角的大小，求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒兩端的電壓為：U₁=E₂=B₂L₂v₁=1×1×8V=8V．

（2）M、N之間的電壓為：U₂=E₂=B₂L₁v₁=1×0.5×8V=4V．
M、N之間的場(chǎng)強(qiáng)大小 E=$\frac{{U}_{2}}h4sa334$=$\frac{4}{0.02}$=200V/m，方向豎直向下．

（3）粒子在MN間加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，有：a=$\frac{qE}{m}$=5×10⁷×200=1×10¹⁰m/s²；
由 d=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$得：t₁=$\sqrt{\frac{2d}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×2×1{0}^{-2}}{1×1{0}^{10}}}$s=2×10^-6s，
粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度為：v=at₁=1×10¹⁰×2×10^-6=2×10⁴m/s，
粒子在SA段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{\overline{SA}}{v}$=$\frac{2×1{0}^{-2}}{2×1{0}^{4}}$=1×10^-6s，
粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．有：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\frac{2×1{0}^{4}}{5×1{0}^{7}×1×1{0}^{-2}}$m=0.04m=4cm，
則知得：r=d
設(shè)粒子在磁場(chǎng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則由幾何知識(shí)得：θ=90°
則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₃=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$•$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5×1{0}^{7}×1×1{0}^{-2}}$s=3×10^-6s，
故粒子在離開(kāi)磁場(chǎng)前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間 t=t₁+t₂+t₃=（2+1+3）×10^-6 s=6×10^-6s．
答：（1）導(dǎo)體棒兩端的電壓是8V；
（2）M、N之間的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小200V/m，方向豎直向下；
（3）粒子在離開(kāi)磁場(chǎng)前運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是6×10^-6 s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握法拉第電磁感應(yīng)定律，掌握帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．