Question

2．如圖所示，豎直固定的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道0A和光滑$\frac{1}{2}$圓弧軌道AB在最低點A平滑連接．OA弧的半徑為R，AB弧的半役為$\frac{R}{2}$．一小球從0點正上方高h（未知）處由靜止釋放，小球經(jīng)O點進入圓弧軌道運動，小球能夠運動到半圓弧的最高點B，并在此后擊中OA弧上的點P．不計空氣阻力，設BP與AB間的夾角為α，求：
（1）h應滿足的條件；
（2）α的最小值（可用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律得出B點的最小速度，結合動能定理求出h的最小值，從而得出h滿足的條件．
（2）根據(jù)平拋運動的規(guī)律，結合動能定理得出h的表達式，根據(jù)h滿足的條件得出α的最小值．

解答 解：（1）小球從釋放至運動到B點，由動能定理得，$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，①
在B點，根據(jù)牛頓第二定律得，mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{\frac{R}{2}}$，②
解得h的最小值h=$\frac{R}{4}$．③
則h≥$\frac{R}{4}$．④
（2）在水平方向上，有：Rsinα=v_Bt，⑤
在豎直方向上，有：$Rcosα=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，⑥
聯(lián)立①⑤⑥得，h=$\frac{R}{4}（\frac{1}{cosα}-cosα）$     ⑦
因為$h≥\frac{R}{4}$，當h=$\frac{R}{4}$時，α角最小，⑧
解得cosα=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
則$α=arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
答：（1）h應滿足的條件為h≥$\frac{R}{4}$．
（2）α的最小值為$arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題動能定理和牛頓第二定律的綜合運用，設計到圓周運動和平拋運動，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．