Question

A、B兩顆人造衛(wèi)星繞地球做圓周運動，它們的圓軌道在同一平面內，周期之比是

T1

T2

=

3 3

2 2

．若兩顆衛(wèi)星的最近距離等于地球半徑R，已知在地面附近繞地球做圓周運動的衛(wèi)星周期為T₀．求：
（1）這兩顆衛(wèi)星的周期各是多少？
（2）從兩顆衛(wèi)星相距最近開始計時到兩顆衛(wèi)星相距最遠至少經過多少時間？

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力，結合兩衛(wèi)星的軌道關系，以及周期關系求出兩顆衛(wèi)星的周期．
（2）結合兩顆衛(wèi)星相距最近開始計時到兩顆衛(wèi)星相距最遠轉過的角度之差等于π求出最短的時間．

解答：解：（1）設地球的質量為M，繞地球表面運動的衛(wèi)星的質量為m′G

Mm′

R2

=m′

4π2

T 2 0

R①
設兩個衛(wèi)星中，離地球較近的質量為m₁，離地球的距離為r₁．較遠的質量為

m

2

，離地球的距離為r₂
G

Mm1

r 2 1

=m1

4π2

T 2 1

r1②
G

Mm2

r 2 2

=m2

4π2

T 2 2

r2③
r₂=r₁+R④

T1

T2

=

3 3

2 2

⑤
解得T1=3

3

T0，T2=2

2

T0
（2）當兩者相距最遠時，最少的時間應該滿足下式：

2π

T1

t-

2π

T2

t=π
t=

3 6

3 3 -2 2

T0
答：（1）這兩顆衛(wèi)星的周期各是T1=3

3

T0，T2=2

2

T0．
（2）從兩顆衛(wèi)星相距最近開始計時到兩顆衛(wèi)星相距最遠至少經過t=

3 6

3 3 -2 2

T0

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，知道周期與軌道半徑的關系．以及知道兩顆衛(wèi)星從相距最近到相距最遠所轉過的角度之差等于π的奇數倍．