Question

如圖所示，水平地面上OP段是粗糙的，OP長為L=1.6m，滑塊A、B與該段的動摩擦因數(shù)都為μ=0.5，水平地面的其余部分是光滑的．滑塊B靜止在O點，其質(zhì)量m_B=2kg．滑塊A在O點左側(cè)以v₀=5m/s的水平初速度向右運動，并與B發(fā)生碰撞．A的質(zhì)量是B的K（K取正整數(shù)）倍，滑塊均可視為質(zhì)點，取g=10m/s²．
（1）若滑塊A與B發(fā)生完全非彈性碰撞，求A、B碰撞過程中損失的機械能；
（2）若滑塊A、B構(gòu)成的系統(tǒng)在碰撞過程中沒有機械能損失，試討論K在不同取值范圍時滑塊A克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）設(shè)滑塊A碰B后的共同速度為v，AB碰撞過程中損失的機械能為△E
由動量守恒定律有    m_Av₀=（m_A+m_B）v                  ①
由能量守恒定律有△E=

1

2

m_Av²-

1

2

（m_A+m_B ）v²           ②
聯(lián)立①②式并代入數(shù)據(jù)解得   △E=

25K

K+1

J               ③
（2）設(shè)碰撞后A、B速度分別為v_A、v_B，且設(shè)向右為正方向，由于彈性碰撞，則有：
  m_Av₀=m_Av_A+m_Bv_B                                    ④
 

1

2

m_Av₀²=

1

2

m_Av

2A

+

1

2

m_Bv

2B

                              ⑤
聯(lián)立④⑤式并代入數(shù)據(jù)解得  

v

A

=

5(K-1)

K+1

m/s               ⑥
  

v

B

=

10K

K+1

m/s                  ⑦
假設(shè)滑塊A、B都能在OP段滑動，滑塊A、B在OP段的加速度（a_A=a_B=μg）相等，由⑥⑦式知在任意時刻v_B＞v_A，滑塊A、B不會再一次發(fā)生碰撞．
由題知，當(dāng)滑塊A剛好能夠到達(dá)P點有  

1

2

mA

v

2A

=μmAgL  ⑧
代入數(shù)據(jù)解得K  ⑨
討論：
（1）當(dāng)K=1 時，v_A=0，滑塊A停在O點，A克服摩擦力所做的功為W_fA=0  ⑩
（2）當(dāng)1＜K≤9時，滑塊A停在OP之間，A克服摩擦力所做的功為WfA=

1

2

mA

v

2A

=25K(

K-1

K+1

)2J       （11）
（3）當(dāng)K＞9時，滑塊A從OP段右側(cè)離開，A克服摩擦力所做的功為W_fA=μm_AgL=16KJ              （12）
答：
（1）若滑塊A與B發(fā)生完全非彈性碰撞，A、B碰撞過程中損失的機械能為

25K

K+1

；
（2）若滑塊A、B構(gòu)成的系統(tǒng)在碰撞過程中沒有機械能損失，滑塊A克服摩擦力所做的功情況有：
    （1）當(dāng)K=1 時，v_A=0，滑塊A停在O點，A克服摩擦力所做的功為W_fA=0 
   （2）當(dāng)1＜K≤9時，滑塊A停在OP之間，A克服摩擦力所做的功為WfA=

1

2

mA

v

2A

=25K(

K-1

K+1

)2J 
  （3）當(dāng)K＞9時，滑塊A從OP段右側(cè)離開，A克服摩擦力所做的功為W_fA=μm_AgL=16KJ