Question

16．勻速（率）圓周運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)的特例，更普遍情況應(yīng)屬于非勻速圓周運(yùn)動(dòng)．做這種圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心加速度公式仍然適用，但在運(yùn)動(dòng)中不僅需要向心加速度不斷改變其運(yùn)動(dòng)方向，而且有沿切線方向的加速度不斷改變其線速度大小（由于線速度大小不斷改變，其向心加速度的大小不是定值）．顯然非勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度a=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{t}}^{2}}$，其所受合外力也不指向圓心，如果-小球在水平面內(nèi)沿半徑為R的圓周按路程s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²（v0、k為常數(shù)）運(yùn)動(dòng)，求：
（1）在t時(shí)刻，小球運(yùn)動(dòng)的合加速a=？
（2）t為何值時(shí)，a=k．
（3）當(dāng)a=k時(shí)，小球轉(zhuǎn)過的圈數(shù)n=？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²分析小球初始時(shí)刻的速度、切線方向的加速度，由a_n=$\frac{{v}^{2}}{R}$求出向心加速度，再合成得到合加速．
（2）根據(jù)上題的結(jié)果，求t．
（3）當(dāng)a=k時(shí)，代入到s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²，求出路程，再得到圈數(shù)n．

解答 解：（1）依題意，路程 s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²可知，小球的初始時(shí)刻的速度為v₀，切向加速度a_t的大小不變，為常數(shù)k．故切向速度  v=v₀-kt變化，小球的向心加速度為
  a_n=$\frac{{v}^{2}}{R}$=$\frac{（{v}_{0}-kt）^{2}}{R}$
所以在t時(shí)刻，小球運(yùn)動(dòng)的合加速度 a=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{a}_{t}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（{v}_{0}-kt）^{4}}{{R}^{2}}+{k}^{2}}$
（2）當(dāng)a=k時(shí)，由上式得 a_n=0
故v=v₀-kt=0，得 t=$\frac{{v}_{0}}{k}$
（3）在一段時(shí)間內(nèi)，小球通過的路程
  s=v₀t-$\frac{1}{2}$kt²=v₀•$\frac{{v}_{0}}{k}$-$\frac{1}{2}$k（$\frac{{v}_{0}}{k}$）²=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2k}$
設(shè)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為n，則 n=$\frac{s}{2πR}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4πRk}$
答：
（1）在t時(shí)刻，小球運(yùn)動(dòng)的合加速度a是$\sqrt{\frac{（{v}_{0}-kt）^{4}}{{R}^{2}}+{k}^{2}}$．
（2）t為$\frac{{v}_{0}}{k}$時(shí)，a=k．
（3）當(dāng)a=k時(shí)，小球轉(zhuǎn)過的圈數(shù)n是$\frac{{v}_{0}^{2}}{4πRk}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是信息題，運(yùn)用比對(duì)的方法研究切向速度的表達(dá)式，得到切向加速度是關(guān)鍵．