Question

11．在某中學(xué)舉辦的智力競(jìng)賽中，有一個(gè)叫做“保護(hù)雞蛋”的競(jìng)賽項(xiàng)目．要求制作一個(gè)裝置，讓雞蛋從兩層樓的高度落到地面且不被摔壞．如果沒有保護(hù)，雞蛋最多只能從0.1m的高度落到地面而不被摔壞．有一位同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的一個(gè)裝置來保護(hù)雞蛋，用A、B兩塊較粗糙的夾板夾住雞蛋，A夾板和B夾板與雞蛋之間的摩擦力都為雞蛋重力的5倍．現(xiàn)將該裝置從距地面4m的高處落下，裝置著地時(shí)間短且保持豎直不被彈起．取g=10m/s²，不考慮空氣阻力，求：
（1）如果沒有保護(hù)，雞蛋直接撞擊地面而不被摔壞，其速度最大不能超過多少？
（2）如果使用該裝置，雞蛋夾放的位置離裝置下端距離x至少為多少米？（保留三位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）據(jù)題，雞蛋最多只能從0.1m的高度落到地面而不被摔壞，想讓雞蛋直接撞擊地面而不被摔壞，其撞地前瞬間的速度最大等于雞蛋從0.1m的高度落到地面時(shí)的速度．根據(jù)動(dòng)能定理求解．
（2）分兩個(gè)過程研究：一是裝置從距地面4m的高處落下時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理求出裝置落地時(shí)的速度大�。�二是裝置靜止后雞蛋下落過程．當(dāng)雞蛋從離地x處滑到地面時(shí)速度恰好等于v_m，恰好不會(huì)被摔壞，再根據(jù)動(dòng)能定理求出x．

解答 解：（1）由題，沒有保護(hù)時(shí)，最多只能從0.1m的高度落到地面而不被摔壞，所以雞蛋直接撞擊地面而不被摔壞，其撞地前瞬間的速度最大等于雞蛋從0.1m的高度落到地面時(shí)的速度．根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgh=$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$，
得：v_m=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.1}$=$\sqrt{2}$m/s．
（2）裝置從距地面4m的高處落下時(shí)，設(shè)落地時(shí)速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理得：mgH=$\frac{1}{2}$mv²，
得：v=$\sqrt{2gH}$=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$m/s．
裝置與地面作用過程中，雞蛋從離地x處滑到地面時(shí)速度只要小于v_m，就不會(huì)被摔壞，則有：
（mg-2×5mg）x=$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²，
代入解得：x=1.73m
答：（1）若想讓雞蛋直接撞擊地面而不被摔壞，其撞地前瞬間的速度最大不能超過$\sqrt{2}$m/s；
（2）如果使用該裝置去保護(hù)雞蛋，雞蛋夾放的位置離裝置下端的距離x至少為1.73m．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及兩個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)發(fā)靈活選擇解題的過程，挖掘隱含的臨界條件．