Question

2．如圖所示，光滑水平桌面上固定兩平行導(dǎo)軌CD、EF，“?”形薄導(dǎo)軌槽與平行導(dǎo)軌之間的接觸部分是粗糙的，圖為俯視圖，兩導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)．一個(gè)木質(zhì)滑塊（陰影部分）放置在“?”形槽內(nèi)，滑塊左側(cè)面和“?”形槽的左半部均是半徑為r的半圓柱形，滑塊可在“?”形槽的內(nèi)側(cè)無摩擦的滑動(dòng)．現(xiàn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)的金屬小球以水平初速度v沖向靜止的滑塊，從滑塊的一側(cè)半圓形槽口邊緣進(jìn)入，從另一側(cè)飛出后進(jìn)入靜止的“?”槽內(nèi)，“?”槽沒有發(fā)生滑動(dòng)．已知金屬小球的質(zhì)量為m，木質(zhì)滑塊的質(zhì)量為km，k＞l．求：
（1）當(dāng)金屬小球第一次經(jīng)過木質(zhì)滑塊上的半圓柱形凹槽的最右端A點(diǎn)時(shí)，滑塊的速度大��；
（2）當(dāng)金屬小球第一次經(jīng)過“?”形槽最左端B點(diǎn)時(shí)，“?”形槽與平行導(dǎo)軌間的摩擦力大��；
（3）若k=9，則滑塊最終的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）到達(dá)A點(diǎn)，兩物體水平方向動(dòng)量守恒且水平速度相等，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式即可求解；
（2）球與滑塊從接觸到分離的過程中動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出小球速度，此后球以速度v₂進(jìn)入左側(cè)半圓軌道，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在B端由摩擦力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式求解；
（3）將k=9帶入上一問可以求出小球和滑塊的速度，此后根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求解即可．

解答 解：（1）到達(dá)A點(diǎn)，兩物體水平方向動(dòng)量守恒且水平速度相等，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv=（m+km）v_共
解得：${v}_{共}=\frac{v}{1+k}$
（2）球與滑塊從接觸到分離，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：mv=mv₁+kmv₂①
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{2}}^{2}$②，
此后球以速度v₂進(jìn)入左側(cè)半圓軌道，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，顯然到達(dá)B點(diǎn)對(duì)“?”形槽水平方向作用力最大，f=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$③
由①②③得：f=$\frac{m{v}^{2}（k-1）^{2}}{r（k+1）^{2}}$
（3）k=9帶入①②得速度大�。盒∏�${v}_{1}=\frac{4}{5}v$，滑塊${v}_{2}=\frac{1}{5}v$，
此后根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：mv₁+kmv₂=mv₃+kmv₄④
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{4}}^{2}$⑤
k=9帶入④⑤得速度大�。�${v}_{3}=\frac{7}{25}v$，${v}_{4}=\frac{8}{25}v$
則小球的速度小于滑塊的速度，所以滑塊最終的速度大小為${v}_{4}=\frac{8}{25}v$．
答：（1）當(dāng)金屬小球第一次經(jīng)過木質(zhì)滑塊上的半圓柱形凹槽的最右端A點(diǎn)時(shí)，滑塊的速度大小為$\frac{v}{1+k}$；
（2）當(dāng)金屬小球第一次經(jīng)過“?”形槽最左端B點(diǎn)時(shí)，“?”形槽與平行導(dǎo)軌間的摩擦力大小為$\frac{m{v}^{2}{（k-1）}^{2}}{r{（k+1）}^{2}}$；
（3）若k=9，則滑塊最終的速度大小為$\frac{8}{25}v$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求速度問題，分析清楚運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律即可正確解題，難度適中．