Question

（22分）如圖所示，兩根相距為L的金屬導(dǎo)軌固定于傾角為θ的斜面上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，一根質(zhì)量為m、長為L、電阻為3R 的金屬棒兩端放于導(dǎo)軌上，金屬棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為µ，棒與導(dǎo)軌的接觸電阻不計(jì)。導(dǎo)軌下端連有阻值為2R的電阻和電流傳感器，電流傳感器與計(jì)算機(jī)相連，且其電阻忽略不計(jì)。斜面上分布著寬度為a、間距為b的2014段方向垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場（a>b）。金屬棒初始位于OO′處，與第1磁場區(qū)域相距2a，金屬棒由靜止開始釋放。（重力加速度為g）

（1）為使金屬棒均能勻速通過每段勻強(qiáng)磁場區(qū)域，求第1磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁大��；
（2）在滿足（1）情況下，求金屬棒進(jìn)入第3磁場區(qū)域時的速度v₃大小和第2014磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂₀₁₄大小；
（3）現(xiàn)使2014段磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度均相同，當(dāng)金屬棒穿過各段磁場時，發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)顯示出的電流I隨時間t以固定的周期做周期性變化，請?jiān)诖痤}紙上給定的坐標(biāo)系中定性地畫出計(jì)算機(jī)顯示的I－t圖（假設(shè)從金屬棒進(jìn)入第1段磁場開始計(jì)時，圖中T為其周期）。
（4）在（3）的情況下，求整個過程中導(dǎo)軌下端電阻上產(chǎn)生的熱量，以及金屬棒從第2014磁場區(qū)域穿出時的速度大小。

Answer 1

（1） （2）
（3）

（4）

試題分析：（1）設(shè)金屬棒到達(dá)第一磁場區(qū)域時的速度大小為v₁，由運(yùn)動學(xué)公式可知：

由于勻速進(jìn)入第一區(qū)域磁場，所以：

聯(lián)立前兩式可以到：
（2）由于每次經(jīng)過磁場區(qū)域時速度都是勻速通過，所以根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式可得：

即：
同理進(jìn)入第2014個磁場區(qū)域時的速度為：

再由勻速通過磁場區(qū)域可知：

得到：
（3）如右圖所示：

（4）a、由于進(jìn)入每一段磁場的速度都相同，故在每一個周期中有
，穿過每段磁場的電能E相同，所以：

得：
b、由電壓的周期性分析知，從2014段磁場穿出的速度為v等于從OO^’運(yùn)動位移時速度為：

得：