Question

16．“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星開(kāi)始繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)變軌、制動(dòng)后，成為一顆繞月球做圓軌道運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星．設(shè)衛(wèi)星距月球表面的高度為h，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T．已知月球半徑為R，引力常量為G，其中R為球的半徑．求：
（1）月球的質(zhì)量M及月球表面的重力加速度g；
（2）在距月球表面高度為h的地方（h＜R），將一質(zhì)量為m的小球以v₀的初速度水平拋出，求落地瞬間月球引力對(duì)小球做功的瞬時(shí)功率P．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得月球質(zhì)量M，再由重力與萬(wàn)有引力相等求得月球表面的重力加速度；
（2）拋出的物體在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得落地時(shí)物體在豎直方向的分速度，根據(jù)P=mgv求得重力做功的瞬時(shí)功率．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞月球圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得月球質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
在月球表面重力與萬(wàn)有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得月球表面重力加速度為：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
（2）在月球表面高度為h處水平拋出物體，物體落地時(shí)豎直方向的速度滿足：
${v}_{y}^{2}=2gh$
所以物體落地時(shí)的瞬時(shí)功率為：P=mgv_y=$mg\sqrt{2gh}$=$\frac{8{π}^{3}（R+h）^{4}}{{R}^{3}{T}^{3}}\sqrt{2（R+h）h}$
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$及月球表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
（2）在距月球表面高度為h的地方（h＜R），將一質(zhì)量為m的小球以v₀的初速度水平拋出，落地瞬間月球引力對(duì)小球做功的瞬時(shí)功率P為$\frac{8{π}^{3}（R+h）^{4}}{{R}^{3}{T}^{3}}\sqrt{2（R+h）h}$．

點(diǎn)評(píng) 解決問(wèn)題的主要思路是萬(wàn)有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，星球表面重力與萬(wàn)有引力相等，掌握平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及重力做功瞬時(shí)功率等于重力與豎直方向速度的乘積．