Question

（16分）如圖所示，兩水平放置的平行金屬板a、b，板長L＝0.2 m，板間距d＝0.2 m．兩金屬板間加可調(diào)控的電壓U，且保證a板帶負(fù)電，b板帶正電， 忽略電場的邊緣效應(yīng)．在金屬板右側(cè)有一磁場區(qū)域，其左右總寬度s＝0.4 m，上下范圍足夠大，磁場邊界MN和PQ均與金屬板垂直，磁場區(qū)域被等寬地劃分為n（正整數(shù)）個(gè)豎直區(qū)間，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B＝5×10^-3T，方向從左向右為垂直紙面向外、向內(nèi)、向外……．在極板左端有一粒子源，不斷地向右沿著與兩板等距的水平線OO′發(fā)射比荷＝1×10⁸ C/kg、初速度為v₀＝2×10⁵ m/s的帶正電粒子。忽略粒子重力以及它們之間的相互作用．
（1）當(dāng)取U何值時(shí)，帶電粒子射出電場時(shí)的速度偏向角最大；
（2）若n=1，即只有一個(gè)磁場區(qū)間，其方向垂直紙面向外，則當(dāng)電壓由0連續(xù)增大到U過程中帶電粒子射出磁場時(shí)與邊界PQ相交的區(qū)域的寬度；
（3）若n趨向無窮大，則偏離電場的帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為多少？

Answer 1

（1）400V （2）（3）

試題分析：（1）（4分）設(shè)速度偏向角為（，則，顯然當(dāng)v_y最大時(shí)，（ 最大。
當(dāng)粒子恰好從極板右邊緣出射時(shí)，速度偏向角最大。          （1分）
豎直方程：，；                       （1分）
水平方程：                                    （1分）
解得：                （1分）

（2）（7分）由幾何關(guān)系知，逐漸增大U_ba，速度偏向角變大，磁偏轉(zhuǎn)半徑變大，與PQ交點(diǎn)逐漸上移。             
當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)位置最低（如圖中D點(diǎn)）：                         
由得，    （1分）
此時(shí)交點(diǎn)D位于OO′正下方0.4m處。    （1分）
當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)位置最高（如圖中C點(diǎn)）：
由，       （1分）
得,   （1分）
由，得，   （1分）
由，得入射方向?yàn)榕c水平方向成45°角
由幾何關(guān)系得，此時(shí)交點(diǎn)位于OO′正上方處。 （1分）
所以交點(diǎn)范圍寬度為             （1分）
（3）（5分）考慮粒子以一般情況入射到磁場，速度為v，偏向角為（，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡趨于一條沿入射速度方向的直線（漸近線）。                     （1分）
又因?yàn)樗俣却笮〔蛔�，因此磁場中運(yùn)動(dòng)可以等效視為勻速直線運(yùn)動(dòng)。       （1分）

軌跡長度為，運(yùn)動(dòng)速率為                 （1分）
時(shí)間                                            （1分）
代入數(shù)據(jù)解得：                                 （1分）
【評分參考】：第（3）問中：①若直接寫，得2分；②如果學(xué)生用微元過程證明，并得出總時(shí)間為定值，也可得過程分2~3分，結(jié)果對再給2分