Question

15．如圖所示，細(xì)繩長L，吊一個(gè)質(zhì)量為m的鐵球（可視為質(zhì)點(diǎn)），球離地的高度h=2L，當(dāng)繩受到大小為2mg的拉力時(shí)就會(huì)斷裂，繩的上端系一質(zhì)量不計(jì)的環(huán)，環(huán)套在光滑水平桿上，現(xiàn)讓環(huán)與球一起以速度v=$\sqrt{gL}$，向右勻速運(yùn)動(dòng)，在A處環(huán)被擋住而立即停止，此時(shí)給鐵球一個(gè)水平向右的恒力F=1.5mg的作用，A處離墻的水平距離也為L，已知L=0.4m，g=10m/s²，求在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，
（1）球第一次碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離是多少；
（2）球第一次碰撞點(diǎn)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律得出環(huán)被擋住后小球所受的拉力，判斷出繩子斷裂，斷裂后，小球做曲線運(yùn)動(dòng)，將小球的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析出球第一次碰撞點(diǎn)在地面還是墻壁，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出球第一次碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離．
（2）根據(jù)速度時(shí)間公式分別求出到達(dá)碰撞點(diǎn)的水平分速度和豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出球第一次到達(dá)碰撞點(diǎn)的速度．

解答 解：（1）到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，對(duì)球分析，根據(jù)牛頓第二定律得：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：T=2mg，
可知繩子斷裂．
球具有水平初速度，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)球與地面碰撞，在豎直方向上有：L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：t=$\sqrt{\frac{2L}{g}}$，
水平方向上的加速度為：${a}_{x}=\frac{F}{m}=1.5g$
則水平位移為：x=$vt+\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}=\sqrt{gL}\sqrt{\frac{2L}{g}}+\frac{1}{2}×1.5g×\frac{2L}{g}$=$（\sqrt{2}+\frac{3}{2}）L＞L$，可知球第一次與墻壁碰撞．
根據(jù)L=$vt′+\frac{1}{2}{a}_{x}t{′}^{2}$得：t′=$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{g}}$，
則下降的高度為：$H=\frac{1}{2}gt{′}^{2}=\frac{1}{2}×g×\frac{4L}{9g}=\frac{2}{9}L$，
所以球第一次碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離為：$△y=L-H=\frac{7}{9}L$．
（2）到達(dá)碰撞點(diǎn)時(shí)水平分速度為：${v}_{x}=v+{a}_{x}t′=\sqrt{gL}+1.5g×\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{g}}$=$2\sqrt{gL}$，
豎直分速度為：${v}_{y}=gt′=\frac{2}{3}\sqrt{gL}$，
根據(jù)平行四邊形定則知，球第一次碰撞點(diǎn)的速度大小為：v=$\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{10gL}$．
答：（1）球第一次碰撞點(diǎn)離墻角B點(diǎn)的距離是$\frac{7}{9}L$；
（2）球第一次碰撞點(diǎn)的速度大小為$\frac{2}{3}\sqrt{10gL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，運(yùn)用假設(shè)法判斷小球能否與墻碰撞．掌握處理曲線運(yùn)動(dòng)的方法，知道小球在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．