Question

1．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系xoy，在坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)有一粗糙曲面軌道，在第一象限內(nèi)有一半徑為R的光滑半圓弧軌道（圓心在y軸上），它們恰好在O點(diǎn)平滑連接．現(xiàn)讓一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從左側(cè)距x軸豎直高度為4R的A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度大小是v₀=$\sqrt{6gR}$，已知重力加速度為g．求：
（1）小球由A到O克服摩擦力做的功；
（2）小球到最高點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）若所有軌道均光滑，且左側(cè)軌道滿足的方程為y=$\frac{1}{2R}{x^2}$．要使小球能過圓弧軌道的最高點(diǎn)B，求小球從左側(cè)軌道由靜止釋放的最低位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）小球由A到O，運(yùn)用動(dòng)能定理求克服摩擦力做的功；
（2）小球由O到B，運(yùn)用動(dòng)能定理求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度．在B點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二、第三定律求小球到最高點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（3）對(duì)全過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列方程．并結(jié)合最高點(diǎn)的臨界條件列式，即可求解．

解答 解：（1）小球由A到O，由動(dòng)能定理得：
  mg•4R-W_f=$\frac{1}{2}$mv₀²-0
據(jù)題 v₀=$\sqrt{6gR}$
解得，小球克服摩擦力做的功 W_f=mgR；
（2）小球由O到B，由動(dòng)能定理得：
-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
在B點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
   N+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N=mg
由牛頓第三定律知，小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為mg，方向向上．
（3）規(guī)定x思所在平面勢(shì)能為零，設(shè)釋放的最低位置坐標(biāo)為（x，y），B點(diǎn)的最小速度為v_m．
對(duì)全過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律得：
  mgy=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
在B點(diǎn)，有 mg=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
聯(lián)立得 y=$\frac{5}{2}$R
將y=$\frac{5}{2}$R代入拋物線方程y=$\frac{1}{2R}{x^2}$，得 x=-$\sqrt{5}$R
所以，最低位置坐標(biāo)為（-$\sqrt{5}$R，$\frac{5}{2}$R）
答：
（1）小球由A到O克服摩擦力做的功是mgR；
（2）小球到最高點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為mg，方向向上；
（3）小球從左側(cè)軌道由靜止釋放的最低位置坐標(biāo)為（-$\sqrt{5}$R，$\frac{5}{2}$R）．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于粗糙曲面，往往根據(jù)動(dòng)能定理求摩擦力做功．對(duì)于光滑曲線，常常根據(jù)機(jī)械能守恒定律研究速度問題．圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)臨界條件是重力等于向心力．