Question

7．在電視節(jié)目中我們常常能看到一種精彩的水上運動--滑水板，如圖所示，運動員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行，設(shè)滑板是光滑的，若運動員與滑板的總質(zhì)量為m=70Kg，滑板的總面積為S=0.12m²，水的密度為ρ=1.0×10³kg/m³．理論研究表明：當(dāng)滑板與水平方向的夾角為θ（板前端抬起的角度）時，水對板的作用力的大小為N=ρSv²sin²θ，方向垂直于板面．式中v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積．求：為使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度（水對滑板的阻力忽略不計）．（提示：abx≤（$\frac{a+b+c}{3}$）³）

Answer 1

分析 根據(jù)力的平衡求出速度和滑板與水平方向的夾角的關(guān)系，根據(jù)數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識和不等式知識求該表達式的最小值，從而得出最小速度．

解答 解：滑板和運動員受重力mg、水對滑板的彈力N，繩子的拉力F，不計水的阻力，根據(jù)物體的平衡有：
Ncosθ-mg=0
又根據(jù)題設(shè)條件，N=ρSv²sin²θ，可得牽引的速度v=$\sqrt{\frac{mg}{ρSsi{n}^{2}θcosθ}}$
在mg、ρ、S一定的條件下，v是θ的函數(shù)，當(dāng)θ取一定值時，v有最小值．
設(shè)y=sin²θcosθ，則當(dāng)y有最大值時，v有最小值．
由于abc≤（$\frac{a+b+c}{3}$）³，故：
y$≤（\frac{2sinθ+cosθ}{3}）^{3}$=$[\frac{\sqrt{5}（\frac{2}{\sqrt{5}}sinθ+\frac{1}{\sqrt{5}}cosθ）}{3}]^{3}$=${[\frac{\sqrt{5}}{3}（sin（θ+43.6°）]}^{3}$$≤\frac{5\sqrt{5}}{27}$，
代入速度表達式中，最小速度v=$\sqrt{\frac{mg}{ρS×\frac{5\sqrt{5}}{27}}}$=$\sqrt{\frac{70×10}{1{0}^{3}×0.12×\frac{5\sqrt{5}}{27}}}$=3.8m/s．
答：快艇水平牽引滑板的最小速度為3.8m/s．

點評 本題本來是一道相當(dāng)難的問題，數(shù)學(xué)計算較復(fù)雜，但使用導(dǎo)數(shù)運算后，使的一難題變?yōu)橐坏莱Ｒ?guī)題．