Question

12．據(jù)每日郵報2014年4月18日報道，美國國家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太陽系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f．假如宇航員乘坐宇宙飛船到達該行星，進行科學觀測：該行星自轉周期為T；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放-個小球（引力視為恒力），落地時間為t₁；宇航員在該行星“赤道”距該行星地面附近h處自由釋放-個小球（引力視為恒力），落地時間為t₂．則行星的半徑R的值（　　）

• A． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}+{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{4{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
• B． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}+{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{2{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
• C． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{2{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
• D． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{4{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運動的規(guī)律求出該行星地面附近的重力加速度；
在該行星“赤道”處物體做圓周運動需要的向心力等于萬有引力與該位置重力之差列出等式求解；

解答 解：宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放-個小球（引力視為恒力），落地時間為t₁；
h=$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$
g=$\frac{2h}{{t}_{1}^{2}}$
宇航員在該行星“赤道”距該行星地面附近h處自由釋放-個小球（引力視為恒力），落地時間為t₂．
h=$\frac{1}{2}$g′${t}_{2}^{2}$
g′=$\frac{2h}{{t}_{2}^{2}}$
在該行星“赤道”處物體做圓周運動需要的向心力等于萬有引力與該位置重力之差列出等式
m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=mg-mg′
解得：R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{2{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
故選：C．

點評 本題關鍵是通過自由落體運動求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力等于重力求解．