Question

16．如圖所示，xOy坐標(biāo)系內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，x＜0的區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場（圖中未畫出）．x＞0區(qū)域有一半徑為R的圓柱形圓筒，圓心O₁的坐標(biāo)為（2R，0），圓筒軸線與磁場平行，現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束恰能沿x軸正方向做勻速直線通過x＜0區(qū)域，已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e，不考慮電子間的相互作用，不計(jì)電子重力．求：
（1）求x＜0區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為E，則電子速的速度大小為多少？
（2）若圓筒外表面各處都沒有電子打到，則電子速度應(yīng)滿足什么條件？
（3）若電子初速度滿足v₀=$\frac{3BeR}{m}$，有部分電子能打到圓筒上，則這些電子通過y軸時的坐標(biāo)范圍是多少？圓筒表面有電子打到的區(qū)域與沒有電子打到的區(qū)域的面積之比是多少？

Answer 1

分析 （1）電子y軸左側(cè)做勻速直線運(yùn)動，說明電場力好洛倫茲力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）電子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，軌跡為半圓，臨界情況是軌跡與圓筒相切；
（3）找出兩個臨界軌跡，即射入的電子剛好擦過圓筒，軌跡與圓筒上側(cè)相切，以及與圓筒下側(cè)相切，作出臨界圖，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解，得到圓筒表面有電子打到的區(qū)域和圓筒表面沒有電子打到的區(qū)域的面積之比．

解答 解：（1）由題意知：在x＜0 區(qū)域內(nèi)，平行電子束做勻速直線運(yùn)動，
由平衡條件得：eE=ev₀B，解得：v₀=$\frac{E}{B}$；
（2）電子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
若沒有電子打到圓筒表面，則：r＜R，
解得：v₀＜$\frac{eBR}{m}$；
（3）由牛頓第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$，
已知：v₀=$\frac{3eBR}{m}$，解得：r₁=3R，
大量電子從y軸上不同點(diǎn)進(jìn)入磁場，軌跡如圖所示，
從O上方P點(diǎn)射入的電子剛好擦過圓筒，
OO₂=$\sqrt{（4R）^{2}-（2R）^{2}}$=2$\sqrt{3}$R，OP=OO₂+r=（2$\sqrt{3}$+3）R，
從O點(diǎn)下方Q點(diǎn)射入的電子剛好擦過圓筒，同理可得：OQ=（2$\sqrt{3}$-3）R，
能打到圓筒上的入射電子，通過y軸時的坐標(biāo)：[-（2$\sqrt{3}$-3）R，（2$\sqrt{3}$+3）R]；
由圖可知，圓弧NKM對應(yīng)的表面為電子打到的區(qū)域，對應(yīng)的角為240⁰，所以
圓筒表面有電子打到的區(qū)域和圓筒表面沒有電子打到的區(qū)域的面積之比：S₁：S₂=2：1；
答：（1）x＜0區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為E，則電子速的速度大小為$\frac{E}{B}$；
（2）若圓筒外表面各處都沒有電子打到，則電子速度應(yīng)滿足的條件是：v₀＜$\frac{eBR}{m}$；
（3）這些電子通過y軸時的坐標(biāo)范圍是：：[-（2$\sqrt{3}$-3）R，（2$\sqrt{3}$+3）R]，圓筒表面有電子打到的區(qū)域與沒有電子打到的區(qū)域的面積之比是2：1．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動規(guī)律，畫出臨界軌跡是關(guān)鍵，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式分析，較難．