Question

18．如圖所示，質(zhì)量為m=4t的汽車以恒定功率P=60kW從A點(diǎn)出發(fā)，先沿著長(zhǎng)度為s₁=400m，傾角為α的斜面（sinα=0.02）運(yùn)動(dòng)到B（其受到的阻力為車重k₁=0.1倍），隨后沿著長(zhǎng)度為s₂=500m的水平面運(yùn)動(dòng)到C（其受到的阻力為車重k₂=0.1倍）．若汽車在AB、BC段、BA段最后均可達(dá)到勻速行駛，g取10m/s²．求：

（1）汽車在AB段達(dá)到勻速行駛時(shí)的速度v₁為多大？A到B耗時(shí)t₁為多少？
（2）為了省油，汽車發(fā)動(dòng)機(jī)在BC段至少需工作多久才能到達(dá)C點(diǎn)？
（3）若汽車仍以此恒定功率先沿CB的水平面運(yùn)動(dòng)，隨后沿BA的斜面運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，則與原路徑相比，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪種更省時(shí)？

Answer 1

分析 （1）由功率的表達(dá)式P=FV及動(dòng)能定理可分別求出汽車在斜坡勻速行駛的速度與時(shí)間；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理可求出汽車發(fā)動(dòng)機(jī)在BD段至少還需工作的時(shí)間；
（3）由汽車克服阻力做功相同，根據(jù)動(dòng)能定理可知，末速度越大的汽車工作時(shí)間越長(zhǎng)，從而由末速度來(lái)確定誰(shuí)能更省時(shí)．

解答 解：（1）在AB段汽車勻速v₁，$\frac{P}{v_1}={k_1}$mg+mgsinα，
得 v₁=$\frac{P}{{{k_1}mg+mgsinα}}$=12.5m/s
耗時(shí)t₁，由Pt₁-k₁mgs₁-mgs₁sinα=$\frac{1}{2}m{v}_{1}$²，
解得t₁=417s
（2）汽車在AB段速度已達(dá)到勻速，若以v₁為初速滑行汽車不能達(dá)到C點(diǎn)．設(shè)汽車發(fā)動(dòng)機(jī)在BC段至少需工作t時(shí)間，才能使得汽車恰好能到達(dá)C點(diǎn)．
根據(jù)動(dòng)能定理：Pt-k₂mgs₂=0-$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得t=28.5s
（3）兩個(gè)路徑中汽車克服阻力做功相同．根據(jù)動(dòng)能定理有：
Pt₁′-W_阻-mgs₁sinα=$\frac{1}{2}$mv₂²，Pt₂′-W_阻+mgs₁sinα=$\frac{1}{2}$mv₃²，
在BC段汽車達(dá)到勻速時(shí)，有：v₂=$\frac{P}{{{k_2}mg}}$=15m/s，
從BA段下行達(dá)到勻速時(shí)，有：v₃=$\frac{p}{{k}_{1}mg-mgsinα}=18.75$m/s
解得t₁′=72.83s，t₂′=66.39s，所以汽車沿原來(lái)路徑耗時(shí)更多．
答：（1）汽車在AB段達(dá)到勻速行駛時(shí)的速度v₁為12.5m/s，A到B耗時(shí)t₁為417s；
（2）為了省油，汽車發(fā)動(dòng)機(jī)在BC段至少需工作28.5s才能到達(dá)C點(diǎn)；
（3）汽車沿原來(lái)路徑耗時(shí)更多．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理，并體現(xiàn)動(dòng)能定理的過(guò)程重要性．同時(shí)要注意定理中的速度與位移是同一參考系，及功的正負(fù)．還要關(guān)注的是牽引力做功W=Pt．