Question

3．如圖所示為半徑是r，密度是ρ的某星球表面某處豎直平面內(nèi)的一段軌道，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R．一個質(zhì)量為m的物體（可以看作質(zhì)點）從直軌道上的P點由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運動．已知P點與圓弧的圓心0等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)為μ，萬有引力常量為G，求：
（1）物體做往返運動的整個過程中，在AB軌道上通過的總路程；
（2）為了使物體能順利達(dá)到圓弧的軌道最高點D，釋放點距B的距離L′應(yīng)滿足什么條件．
（3）若物體恰能過D點，求物體對軌道的最大壓力．

Answer 1

分析 （1）全過程看，物體只在粗糙斜面上消耗機械能，由功能關(guān)系即可求出總路程；
（2）根據(jù)圓周運動中能過最高點的條件求出D點的速度，然后由動能定理即可求出釋放點距B的距離L′應(yīng)滿足的條件；
（3）根據(jù)動能定理求出E點的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出E點對軌道的壓力；

解答 解：設(shè)該天體表面重力加速度為g，
（1）全過程看，物體只在粗糙斜面上消耗機械能，故：μmgScosθ=mgRcosθ…（1）
解得：$S=\frac{R}{μ}$…（2）
（2）物體能順利達(dá)到最高點D，則在D點由牛頓第二定律：$mg=\frac{mv_D^2}{R}$…（3）
物體從釋放到D點，全過程由動能定理得：$mg（L'sinθ-2R）-μmgL'cosθ=\frac{1}{2}mv_D^2$…（4）
由（2）～（4）式得：$L'=\frac{5R}{2（sinθ-μcosθ）}$…（5）
為了使物體能順利達(dá)到圓弧的軌道最高點D，釋放點距B的距離L′應(yīng)滿足$L′≥\frac{5R}{2（sinθ-μcosθ）}$
（3）對該天體表面質(zhì)量為m₀的物體有：${m_0}g=\frac{{G{m_0}M}}{r^2}$…（6）
又  $M=ρ\frac{4}{3}π{r^3}$…（7）
物體在最低點E處對軌道壓力F最大，物體所受支持力F’=F         …（8）
由牛頓第二定律可得：$F'-mg=\frac{mv_E^2}{R}$…（9）
對物體由E到D由機械能守恒定律：$\frac{mv_E^2}{2}=\frac{mv_D^2}{2}+2mgR$…（10）
由（6）～（10）式得：F=8πGmrρ…（11）
答：（1）物體做往返運動的整個過程中，在AB軌道上通過的總路程$\frac{R}{μ}$；
（2）為了使物體能順利達(dá)到圓弧的軌道最高點D，釋放點距B的距離L′應(yīng)滿足$L′≥\frac{5R}{2（sinθ-μcosθ）}$．
（3）若物體恰能過D點，求物體對軌道的最大壓力是8πGmrρ．

點評 本題綜合應(yīng)用了動能定理求摩擦力做的功、圓周運動及圓周運動中能過最高點的條件，對動能定理、圓周運動部分的內(nèi)容考查的較全，是圓周運動部分的一個好題．