Question

6．如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)，棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg（k＞1）．?dāng)嚅_輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長(zhǎng)，與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無動(dòng)能損失．棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)．求：
（1）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功W．
（2）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，棒運(yùn)動(dòng)的總路程x．

Answer 1

分析 （1）棒第一次與地面碰撞后，速度方向變?yōu)橄蛏�，環(huán)的速度方向向下，二者存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，相互間存在滑動(dòng)摩擦力：棒受重力、向下的滑動(dòng)摩擦力，合力方向向下；環(huán)受重力、向上的滑動(dòng)摩擦力，合力方向向上．所以二者都做勻減速，當(dāng)棒再次下落時(shí)，由于棒的速度小于環(huán)的下落速度，所以環(huán)的受力情況與之前相同，仍向下做勻減速運(yùn)動(dòng)．整個(gè)過程中能量的損失都是由于摩擦力對(duì)物體做的功，根據(jù)能量的守恒可以較簡(jiǎn)單的求得摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功；
（2）棒運(yùn)動(dòng)的總路程為原來下降的高度H，加上第一次上升高度的兩倍，對(duì)棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求得上升的高度．

解答 解：（1）設(shè)環(huán)相對(duì)棒滑動(dòng)距離為l
根據(jù)能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl
解得$l=\frac{2H}{K-1}$
摩擦力對(duì)棒及環(huán)做的總功為：W=-kmgl
聯(lián)立解得：$W=-\frac{2KmgH}{K-1}$；
（2）棒第一次彈起經(jīng)過t₁時(shí)間，與環(huán)達(dá)到相同速度v′₁
環(huán)的速度：v′₁=-v₁+a_環(huán)t₁
棒的速度：v′₁=v₁+a_棒t₁
環(huán)的位移：${h_{環(huán)1}}=-{v_1}{t_1}+\frac{1}{2}{a_環(huán)}t_1^2$
棒的位移：${h_{棒1}}={v_1}{t_1}+\frac{1}{2}{a_棒}t_1^2$
環(huán)第一次相對(duì)棒的位移為：${x_1}={h_{環(huán)1}}-{h_{棒1}}=-\frac{2H}{k}$
棒環(huán)一起下落至地：$v_2^2-v_1^{/^2}=2g{h_{棒1}}$
解得：${v_2}=\sqrt{\frac{2gH}{k}}$
同理，環(huán)第二次相對(duì)棒的位移為${x_2}={h_{環(huán)2}}-{h_{棒2}}=-\frac{2H}{k^2}$
…${x_n}=-\frac{2H}{k^n}$
環(huán)相對(duì)棒的總位移為：x=x₁+x₂+…+x_n
由數(shù)學(xué)規(guī)律可知：
x=$H+\frac{2k}{{{k^2}-1}}H$
答：（1）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功W為$\frac{2kmgH}{k-1}$
（2）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，棒運(yùn)動(dòng)的總路程為$H+\frac{2k}{{{k^2}-1}}H$

點(diǎn)評(píng) 本題考查功能關(guān)系及力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，只要能正確受力分析，結(jié)合當(dāng)速度與加速度方向相同時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)，方向相反時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)即可求解．