Question

8．如圖所示，光滑水平軌道與半徑為R的光滑豎直半圓軌道在B點(diǎn)平滑連接．在過(guò)圓心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球在水平軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)離開(kāi)半圓軌道后，經(jīng)界面MN上的P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)（P點(diǎn)恰好在A點(diǎn)的正上方，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)之前所帶電荷量保持不變，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)后所帶電荷量立即變?yōu)榱悖�．已知A、B兩點(diǎn)間的距離為2R，重力加速度為g．在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
求：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大速率；（計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示）．

Answer 1

分析 （1）對(duì)從A到C過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式；對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程根據(jù)分位移公式列式，最后聯(lián)立求解即可；
（2）對(duì)從A位置到圓弧過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式，運(yùn)用解析法求解速度的最大值即可．

解答 解：（1）設(shè)小球過(guò)C點(diǎn)速度為v_c，小球從A到C過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
qE•3R-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
2R=v_Ct
解得：
E=$\frac{mg}{q}$
（2）小球運(yùn)動(dòng)到圓周D點(diǎn)時(shí)速度最大，設(shè)為v，此時(shí)OD與豎直線(xiàn)OB夾角設(shè)為α，小球從A運(yùn)動(dòng)到D過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理可知：
qE（2R+Rsinα）-mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
即：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgR（sinα+cosα+1）$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)α=45°時(shí)動(dòng)能最大，由此可得：
v=$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{mg}{q}$；
（2）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大速率為$\sqrt{（2+2\sqrt{2}）gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)動(dòng)能定理和平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式分析，不難．