Question

4．電容器是一種重要的電學元件，基本工作方式就是充電和放電．由這種充放電的工作方式延伸出來的許多電學現(xiàn)象，使得電容器有著廣泛的應(yīng)用．如圖1所示，電源與電容器、電阻、開關(guān)組成閉合電路．已知電源電動勢為E，內(nèi)阻不計，電阻阻值為R，平行板電容器電容為C，兩極板間為真空，兩極板間距離為d，不考慮極板邊緣效應(yīng)．
（1）閉合開關(guān)S，電源向電容器充電．經(jīng)過時間t，電容器基本充滿．
a．求時間t內(nèi)通過R的平均電流$\overline{I}$；
b．請在圖2中畫出充電過程中電容器的帶電量q隨電容器兩極板電壓u變化的圖象；并求出穩(wěn)定后電容器儲存的能量E₀；
（2）穩(wěn)定后斷開開關(guān)S．將電容器一極板固定，用恒力F將另一極板沿垂直極板方向緩慢拉開一段距離x，在移動過程中電容器電量保持不變，力F做功為W；與此同時，電容器儲存的能量增加了△E．請推導(dǎo)證明：W=△E．要求最后的表達式用已知量表示．

Answer 1

分析 （1）a．電容器基本充滿時，電容器兩端電壓等于電源的電動勢，根據(jù)電容的定義 C=$\frac{Q}{U}$、U=E可以得出t內(nèi)通過R的電荷量Q，再根據(jù)電流強度的定義 $\overline{I}$=$\frac{Q}{t}$ 可以解得平均電流
b．根據(jù)Q=CU，可知圖象為經(jīng)過坐標原點的直線，且U的最大值為E．
（2）極板在移動過程中板間場強不變，兩極板間的相互作用力為恒力，求出恒力F′后，在根據(jù)功的定義式：W=F′x可以求出W；再根據(jù)（1）E₀的表達式就可以得出初、末狀態(tài)電容器儲存的能量，再求出△E，進而得證：W=△E．

解答 解：（1）a．設(shè)充電完畢電容器所帶電量為Q，即時間t內(nèi)通過電阻R的電量，此時電容器兩端電
壓等于電源的電動勢，根據(jù)電容的定義   C=$\frac{Q}{U}$    U=E
根據(jù)電流強度的定義  $\overline{I}$=$\frac{Q}{t}$  解得平均電流 $\overline{I}$=$\frac{CE}{t}$      
b．根據(jù)q=Cu，畫出q-u圖象如圖1所示   
由圖象可知，圖線與橫軸所圍面積即為電容器儲存的能量，
如圖2中斜線部分所示
由圖象求出電容器儲存的電能  E₀=$\frac{1}{2}$EQ   將Q=CU、U=E代入
得：E₀=$\frac{1}{2}$CE²     
（2）設(shè)兩極板間場強為  E′，兩極板正對面積為S
根據(jù) E′=$\frac{U}xxr6qla$=$\frac{Q}{Cd}$，將 C=$\frac{S}{4kπd}$代入得：E′=$\frac{4kπQ}{S}$，可知極板在移動過程中板間場強不變，兩極板間的相互作用力為恒力．兩板間的相互作用可以看作負極板電荷處于正極板電荷產(chǎn)生的電場中，可知兩板間的相互作用力F′=$\frac{1}{2}$E′Q                 
緩慢移動時有    F=F′
根據(jù)功的定義有   W=F′x=$\frac{1}{2}$E′Qx   將 E′=$\frac{4kπQ}{S}$代入              
得：W=$\frac{2kπQ{\;}^{2}}{S}$x=$\frac{CE{\;}^{2}}{2d}$x                  
電容器增加的能量△E=$\frac{Q2}{2C′}$-$\frac{Q{\;}^{2}}{2C}$ 將 C=$\frac{S}{4kπd}$、C′=$\frac{S}{4Kπ（d+x）}$  代入
得：△E=$\frac{2KπQ{\;}^{2}}{S}$x=$\frac{CE{\;}^{2}}{2d}$x               
所以W=△E．
答：（1）a．時間t內(nèi)通過R的平均電流$\overline{I}$=$\frac{CE}{t}$； 圖象如圖1所示  （b）．圖象如圖2所示；穩(wěn)定后電容器儲存的能量E₀=$\frac{1}{2}$CE²． 
        （2）W=△E

點評 此題難度較大，既考查了電容器的基本定義式C=$\frac{Q}{U}$，有考查在移動過程中極板間場強不變，兩極板間的相互作用力為恒力，這個過程中做的功等于電容器儲存的能量．