Question

16．經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，雙星系統(tǒng)由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度（即大小）都遠小于它們之間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)觀察到一對雙星A、B繞它們連線上的一點做勻速圓周運動，其周期為T，A、B之間的距離為L，它們的線速度之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=2，試求A、B這兩個星體的質(zhì)量．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．對m₁，G $\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=m₁R₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，對m₂，G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=m₂R₂$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$．聯(lián)立后結(jié)合半徑關(guān)系、以及v=ωr 即可求解．

解答 解：設(shè)A與B的質(zhì)量分別為m₁和m₂，m₁的軌道半徑為R₁，m₂的軌道半徑為R₂．由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
對m₁：G $\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=m₁R₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，…①
對m₂：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=m₂R₂$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…②
由①②式可得：m₁R₁=m₂R₂   ③
 又因為R₁十R₂=L，④
所以得：R₁=$\frac{{m}_{2}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$L，R₂=$\frac{{m}_{1}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$L；   ⑤
根據(jù)公式：v=ωr  ⑥
以及題目中：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=2  ⑦
聯(lián)立得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{1}{2}$  ⑧
R₁=$\frac{{m}_{2}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$L代入 ①式，可得：
G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁$\frac{{m}_{2}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$L•$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$  
整理得：${m}_{1}+{m}_{2}=\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$   ⑨
聯(lián)立⑧⑨可得：m₁=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{3G{T}^{2}}$；
m₂=$\frac{8{π}^{2}{L}^{3}}{3G{T}^{2}}$
答：A、B這兩個星體的質(zhì)量分別為$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{3G{T}^{2}}$和$\frac{8{π}^{2}{L}^{3}}{3G{T}^{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會用萬有引力提供向心力進行求解．