Question

6．如圖1，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=30°角固定，軌距為L(zhǎng)=1m，質(zhì)量為m的金屬桿ab水平放置在軌道上，其阻值忽略不計(jì)．空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.5T．P、M間接有阻值R₁的定值電阻，Q、N間接變阻箱R．現(xiàn)從靜止釋放ab，改變變阻箱的阻值R，測(cè)得最大速度為v_m，得到$\frac{1}{Vm}$與$\frac{1}{R}$的關(guān)系如圖2所示．若軌道足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)，重力加速度g取l0m/s²．求：
（1）金屬桿的質(zhì)量m和定值電阻的阻值R₁；
（2）當(dāng)變阻箱R取1Ω時(shí)，且金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的加速度為0.5gsinθ時(shí)，此時(shí)金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的速度；
（3）當(dāng)變阻箱R取1Ω時(shí)，且金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的速度為$\frac{Vm}{2}$時(shí)，定值電阻R₁消耗的電功率．

Answer 1

分析 （1）從靜止釋放ab，ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，相當(dāng)于電源，定值電阻R₁與R并聯(lián)，可求得總電阻的表達(dá)式．當(dāng)ab棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件和安培力公式到$\frac{1}{{v}_{m}}$與$\frac{1}{R}$的關(guān)系式，由圖象讀出斜率造型截距，即可求出m和R₁．
（2）當(dāng)變阻箱R取1Ω時(shí)，且金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律求得此時(shí)金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的速度；
（3）當(dāng)變阻箱R取1Ω時(shí)，由圖象得到v_m，由公式P=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{1}}$求得定值電阻R₁消耗的電功率．

解答 解：（1）總電阻為R_總=$\frac{{R}_{1}R}{{R}_{1}+R}$；
通過(guò)金屬桿ab的電流為I=$\frac{BLv}{{R}_{總}(cāng)}$
當(dāng)達(dá)到最大速度時(shí)金屬棒受力平衡，則有mgsinθ=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{1}R}（{R}_{1}+R）$
得，$\frac{1}{{v}_{m}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mgRsinθ}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mg{R}_{1}sinθ}$
根據(jù)圖象得到斜率k=0.5，縱截距b=0.5，
由數(shù)學(xué)知識(shí)得：k=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mgsinθ}$，b=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mg{R}_{1}sinθ}$
代入數(shù)據(jù)，可以得到棒的質(zhì)量m=0.1kg，R₁=1Ω
（2）金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ時(shí)，I′=$\frac{BLv′}{{R}_{總}(cāng)}$
根據(jù)牛頓第二定律，得mgsinθ-BI′L=ma
代入得  mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}R}（{R}_{1}+R）$=$\frac{1}{2}$mgsinθ
代入數(shù)據(jù)，得到v′=0.5m/s
（3）當(dāng)變阻箱R取1Ω時(shí)，根據(jù)圖象得到v_m=1m/s，則由題v=$\frac{{v}_{m}}{2}$=0.5m/s
定值電阻R₁消耗的電功率為
P=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{{R}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)得：P=0.0625W
答：（1）金屬桿的質(zhì)量m是0.1kg，定值電阻的阻值R₁是1Ω．
（2）當(dāng)變阻箱R取1Ω時(shí)，且金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ時(shí)，此時(shí)金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的速度是0.5m/s．
（3）當(dāng)變阻箱R取1Ω時(shí)，且金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的速度為$\frac{{v}_{m}}{2}$時(shí)，定值電阻R₁消耗的電功率是0.0625W．

點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)平衡條件和安培力公式得到$\frac{1}{{v}_{m}}$與$\frac{1}{R}$的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)即可求得有關(guān)量．