Question

1．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB是長為R的水平直軌道，BCD是圓心為O、半徑為R的$\frac{3}{4}$圓弧軌道，兩軌道相切于B點．在外力作用下，小球從A點由靜止開始做勻加速直線運動，到達B點時撤除外力．已知小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過最高點C，重力加速度為g．求：
（1）小球在B點時的速度大��；
（2）小球在AB段運動的加速度大小；
（3）小球從D點運動到A點所用的時間．

Answer 1

分析 （1）小球恰好到達最高點，知彈力為零，結(jié)合牛頓第二定律求出最高點的速度，根據(jù)機械能守恒定律求出小球在B點的速度大小．
（2）根據(jù)速度位移公式求出小球在AB段運動的加速度大�。�
（3）根據(jù)機械能守恒求出D點速度和A點的速度，結(jié)合速度時間公式求出運動的時間．

解答 解：（1）小球在最高點C所受軌道正壓力為零，有：
$mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}$，
小球從B點運動到C點，根據(jù)機械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgR$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
（2）由于小球在AB段由靜止開始做勻加速運動，設(shè)加速度大小為a，由運動學(xué)公式有：
${{v}_{B}}^{2}=2aR$，
解得：a=$\frac{5}{2}g$．
（3）設(shè)小球在D處的速度大小為v_D，下落到A點的速度為v，由機械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+mgR$，
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
設(shè)從D點運動到A點所用的時間為t，由運動學(xué)公式得，gt=v-v_D，
解得：t=$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．
答：（1）小球在B點時的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）小球在AB段運動的加速度大小為$\frac{5}{2}g$；
（3）小球從D點運動到A點所用的時間為$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．

點評 本題主要考查了機械能守恒，運動學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，物體恰好通過C點是本題的突破口，這一點要注意把握，難度適中．