Question

19．如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長(zhǎng)度為l．水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)．小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓槽形軌道右側(cè)以初速度v₀沖上軌道，通過圓槽形軌道．水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經(jīng)水平軌道返回圓槽形軌道．已知R=0.2m，l=1.0m，v_o=3m/s，物塊A的質(zhì)量為m=1kg，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，軌道其他部分的摩擦不計(jì)，取g=10m/s²．
（1）求物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小．
（2）求物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓槽形軌道的高度
（3）調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度l，A以v′=2$\sqrt{3}$m/s的初速?gòu)能壍烙覀?cè)沖上軌道，求當(dāng)l滿足什么條件時(shí)，物塊A能第一次返回圓槽形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道．

Answer 1

分析 （1）物塊A從Q到P過程中，運(yùn)用動(dòng)能定理，結(jié)合摩擦力做功，從而求出物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大�。�
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得回到圓軌道的速度大小，再根據(jù)動(dòng)能定理求出A能夠上升的高度，并討論能否達(dá)到此高度．
（3）A物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道，要么能夠越過圓軌道的最高點(diǎn)，要么在圓軌道中上升的高度不要超過圓軌道的半徑，結(jié)合動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律和牛頓第二定律求出l所滿足的條件．

解答 解：（1）物塊A從開始運(yùn)動(dòng)到與彈簧剛接觸的過程中，由動(dòng)能定理得：-μmgl=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₁=$\sqrt{5}$m/s；
（2）A被彈簧以原速率v₁彈回，向右經(jīng)過PQ段，由動(dòng)能定理得：-μmgl=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：v₂=1m/s，
假設(shè)A恰好能到達(dá)圓形軌道的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{2}$m/s，
A要能達(dá)到圓形軌道的最高點(diǎn)，在水平軌道上的最小速度為v′，由動(dòng)能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv′²，
解得：v′=$\sqrt{10}$m/s＞v₂，
則A不能到達(dá)圓形軌道的最高點(diǎn)，設(shè)A能到達(dá)的最大高度為h，由動(dòng)能定理得：-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得：h=0.05m＜R，
A在圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)脫離軌道，到達(dá)的最大高度為0.05m；
（3）①若A沿軌道上滑至最大高度h時(shí)，速度減為0，則：0＜h≤R，由動(dòng)能定理得：-μmg•2l₁-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，l₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$-$\frac{h}{2μ}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{h}{0.4}$，1.0m≤l₁＜1.5m，
②若A能沿軌道上滑至最高點(diǎn)，則：m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$≥mg，
由動(dòng)能定理得：-μmg•2l₂-2mgh=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：l₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{4μg}$-$\frac{R}{μ}$，l₂≤0.25m；
答：（1）物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小為$\sqrt{5}$m/s．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓槽形軌道的高度為0.05m．
（3）當(dāng)l滿足條件：1.0m≤l＜1.5m  或l≤0.25m時(shí)，物塊A能第一次返回圓槽形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律，以及知道小球不脫離圓軌道的條件，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．