Question

17．如圖所示，四分之一圓軌道OA與傳送帶相切相連，下方的CD水平軌道與它們在同一豎直平面內．圓軌道OA的半徑R=1.25m，傳送帶長s=2.25m，圓軌道OA光滑，AB與CD間的高度差為h．一滑塊從O點靜止釋放，當滑塊經過B點時（無論傳送帶是否運動），靜止在CD上的長為L=$\frac{3}{4}$m的木板（此時木板的末端在B點的正下方）在F=16N的水平恒力作用下啟動，此時滑塊落入木板中．已知滑塊與傳送帶的摩擦因數μ₁=0.2，木板的質量M=1kg，木板與CD間的摩擦因數為μ₂=0.4，g取10m/s²，求：

（1）如果傳送帶靜止，求滑塊到達B點的逨度；
（2）如果傳送帶可以以任意速度傳動，取h=10m，試判斷滑塊還能否落在木板上．

Answer 1

分析 （1）傳送帶靜止時：先根據機械能守恒定律求出滑塊經過A點的速度．滑塊滑過靜止的傳送帶到達B點的過程，做勻減速運動，只有摩擦力做功，運用動能定理求滑塊到達B點的逨度；
（2）傳送帶運動時：先根據牛頓第二定律求出木板的加速度．滑塊離開B后做平拋運動，由高度求出時間．如果滑塊落在木板左端，根據滑塊的水平位移和木板的位移相等，求出滑塊到達B點的速度．當傳送帶的速度足夠大時，可以讓滑塊一直處于加速狀態(tài)，由動能定理求出滑塊運動到B點的速度，與滑塊恰好落在木板左端的速度比較，分析滑塊能否落在木板上．

解答 解：（1）滑塊滑到A點的速度為v_A，由機械能守恒定律可知：
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_A=5m/s ①
滑塊滑過靜止的傳送帶到達B點后，速度為 v_B
由動能定理有：-μ₁mgs=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$  ②
得：v_B=4m/s ③
（2）木板在CD上運動的加速度由牛頓第二定律得：
  a=$\frac{F-{μ}_{2}Mg}{M}$=12m/s² ④
如果h=10m，滑塊落在木板上的時間為t，則有
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 t=$\sqrt{2}$s      ⑤
如果滑塊落在木板左端，需要滑塊有速度 v_B1，則有 v_B1t=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：v_B1=6$\sqrt{2}$m/s     ⑥
當傳送帶的速度足夠大時，可以讓滑塊一直處于加速狀態(tài)，設滑塊運動到B點的
速度為v′_B，則由動能定理有：
  μ₁mgs=$\frac{1}{2}mv{′}_{B1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$      ⑦
解得：v′_B=$\sqrt{34}$m/s＜v_B1=6$\sqrt{2}$m/s     ⑧
即傳送帶不足以使滑塊獲得落在木板上所需的速度，故滑塊不能落在木板上．
答：
（1）滑塊到達B點的逨度是4m/s；
（2）滑塊不能落在木板上．

點評 本題為多物體多過程問題，要分別對滑塊和木板兩個物體進行受力分析，并明確它們運動之間的關系，如滑塊離開B點后它們運動的等時性，水平位移相等等．