Question

9．物體A的質量M=2kg，靜止在光滑水平面上，平板車B的質量為m=0.5kg、長L=1m．某時刻A以v₀=4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同時，給B施加一個水平向右的拉力．忽略物體A的大小，已知A與B之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，取重力加速度g=1m/s²，試求：
（1）若F=2N，物體A在小車B上相對小車B滑行的時間和最大距離；
（2）如果要使A不至于從B上滑落，拉力F的大小應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）首先分析物體A和車的運動情況：A相對于地做勻減速運動，車相對于地做勻加速運動．開始階段，A的速度大于車的速度，則A相對于車向右滑行，當兩者速度相等后，A相對于車靜止，則當兩者速度相等時，物體A在小車上運動時相對小車滑行的最大距離．由牛頓第二定律和運動學公式結合，以及速度相等的條件，分別求出A與車相對于地的位移，兩者之差等于A在小車上運動時相對小車滑行的最大距離．
（2）要使A不從B上滑落，是指既不能從B的右端滑落，也不能左端滑落．物體A不從右端滑落的臨界條件是A到達B的右端時，A、B具有共同的速度，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結合，以及速度相等的條件，可求出此時F，為F的最小值．物體A不從左端滑落的臨界條件是A到達B的左端時，A、B具有共同的速度，可求出此時F的最大值，綜合得到F的范圍．

解答 解：（1）物體A滑上木板B以后，作勻減速運動，由牛頓第二定律得：μMg=Ma_A，
所以：${a}_{A}=μg=0.2×10=2m/{s}^{2}$，
木板B作加速運動，由牛頓第二定律得：F+μMg=ma_B，
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{B}=\frac{F}{m}+\frac{μMg}{m}$=$\frac{2}{0.5}+\frac{0.2×2×10}{0.5}=12m/{s}^{2}$，
兩者速度相同時：v₀-a_At=a_Bt，即：4-2t=12t，
解得：t=$\frac{2}{7}$ s，
A滑行距離：${x}_{A}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$=$4×\frac{2}{7}-\frac{1}{2}×2×（\frac{2}{7}）^{2}=\frac{52}{49}$m，
B滑行距離：${x}_{B}=\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}=\frac{1}{2}×12×（\frac{2}{7}）^{2}=\frac{24}{49}$m，
代入數(shù)據(jù)解得，最大距離：△x=x_A-x_B=$\frac{52}{49}-\frac{24}{49}=\frac{4}{7}$m．
（2）物體A不滑落的臨界條件是A到達B的右端時，A、B具有共同的速度v₁，
則：$\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{V}_{1}}^{2}}{2{a}_{A}}=\frac{{{V}_{1}}^{2}}{2{a}_{B}}+L$，
又$\frac{{v}_{0}-{V}_{1}}{{a}_{A}}=\frac{{V}_{1}}{{a}_{B}}$，
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立可得：a_B=6m/s²，F(xiàn)=ma_B-?Mg=1N
若F＜1N，則A滑到B的右端時，速度仍大于B的速度，于是將從B上滑落，所以F必須大于等于1N．
當F較大時，在A到達B的右端之前，就與B具有相同的速度，之后，A必須相對B靜止，才不會從B的左端滑落．
即有：F=（m+M）a，?Mg=Ma　所以：F=5N
若F大于5N，A就會相對B向左滑下．綜上：力F應滿足的條件是：1N≤F≤5N．
答：（1）若F=2N，物體A在小車B上相對小車B滑行的時間是$\frac{2}{7}$s，最大距離是$\frac{4}{7}$m；
（2）如果要使A不至于從B上滑落，拉力F的大小應滿足的條件是1N≤F≤5N．

點評 牛頓定律和運動公式結合是解決力學問題的基本方法，這類問題的基礎是分析物體的受力情況和運動情況，難點在于分析臨界狀態(tài)，挖掘隱含的臨界條件．