Question

【題目】如圖所示，左側為一個半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點為球心，碗的內表面及碗口光滑。右側是一個固定光滑斜面，斜面足夠長，傾角θ=30°．一根不可伸長、不計質量的細繩跨在碗口及光滑斜面頂端的光滑定滑輪兩端上，線的兩端分別系有可視為質點的小球m1和m2，且m1＞m2．開始時m1恰在碗口水平直徑右端A處，m2在斜面上且距離斜面頂端足夠遠，此時連接兩球的細繩與斜面平行且恰好伸直。當m1由靜止釋放運動到圓心O的正下方B點時細繩突然斷開，不計細繩斷開瞬間的能量損失。

（1）m1由靜止釋放運動到圓心O的正下方B點時m1和m2的速度大小之比

（2）求小球m2沿斜面上升的最大距離s；

（3）若已知細繩斷開后小球m1沿碗的內側上升的最大高度為，求兩球質量之比。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）1.9

【解析】

(1)設重力加速度為g，小球m1到達最低點B時m1、m2的速度大小分別為v1、v2，由運動的合成分解得：，

則有： ①

(2)對m1、m2組成的系統(tǒng)由功能關系得： ②

根據幾何關系得： ③

設細繩斷后m2沿斜面上升的距離為s′，

對m2由機械能守恒定律得： ④

根據幾何關系得，小球m2沿斜面上升的最大距離為：s= ⑤

聯立①②③④⑤解得： ⑥

(3)對m1由機械能守恒定律得： ⑦

聯立①②③⑦得：