Question

2．宇航員站在一星球表面上自h高處，沿水平方向以初速度v₀拋出-個(gè)小球．測(cè)得拋物點(diǎn)與落地點(diǎn)之間水平距離為L(zhǎng)．該星球的半徑為R（R＞＞h），萬(wàn)有引力常數(shù)為G．若在該星球上發(fā)射一個(gè)衛(wèi)星，使它在該星球表面附近繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）小球在該星球表面附近的加速度多大？
（2）該衛(wèi)星的周期
（3）該星球的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和豎直位移解出重力加速度；
（2）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解衛(wèi)星周期；
（3）根據(jù)星球表面的重力等于萬(wàn)有引力列式求解該星球的質(zhì)量．

解答 解：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式，有：
L=v₀t 
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
聯(lián)立解得：
g=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$   ①
（2）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$mg=m{（\frac{2π}{T}）}^{2}R$  ②
聯(lián)立①②解得：
T=$\frac{πL}{{v}_{0}}\sqrt{\frac{2R}{h}}$
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得：
$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$   ③
聯(lián)立①③得到：
M=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$
答：（1）小球在該星球表面附近的加速度為$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）該衛(wèi)星的周期為$\frac{πL}{{v}_{0}}\sqrt{\frac{2R}{h}}$；
（3）該星球的質(zhì)量為$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題將萬(wàn)有引力定律與平拋運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來(lái)考查，關(guān)鍵要理清解題的思路，掌握行星表面物體萬(wàn)有引力等于重力這一規(guī)律求解行星質(zhì)量，知道重力加速度g是聯(lián)系天體運(yùn)動(dòng)與行星表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)的橋梁．