Question

4．我國探月的“嫦娥”工程已啟動，在不久的將來，我國宇航員將登上月球．假設(shè)探月宇航員站在月球表面一斜坡上的M點，并沿水平方向以初速度v₀拋出一個小球，測得小球經(jīng)時間t落到斜坡上另一點N，斜面的傾角為θ，如圖所示．將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，引力恒量為G，求：
（1）月球表面的重力加速度？
（2）月球的平均密度多少？

Answer 1

分析 （1）月球表面的重力加速度g就是小球平拋運動的加速度，可根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出．
（2）由重力等于萬有引力，求出月球的質(zhì)量，再求密度．

解答 解：（1）根據(jù)平拋運動規(guī)律有
  $\overline{MN}$sinθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   $\overline{MN}$cosθ=v₀t
得月球表面的重力加速度 g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$
（2）月球?qū)Ρ砻嫖矬w的萬有引力等于物體的重力，有 $\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mg，
月球的密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$
解以上三式得月球的平均密度 ρ=$\frac{3{v}_{0}tanθ}{2πGrt}$．
答：
（1）月球表面的重力加速度是$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$．
（2）月球的平均密度是 $\frac{3{v}_{0}tanθ}{2πGrt}$．

點評 本題是平拋運動的規(guī)律與萬有引力的綜合，要知道它們之間聯(lián)系橋梁是重力加速度．