Question

18．在高速公路上，某輛汽車始終保持108km/h的速率行駛，汽車輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍．（取g=10m/s²）
（1）如果汽車在高速路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，為確保拐彎時(shí)不產(chǎn)生橫向滑動(dòng)，其彎道的最小半徑是多少？
（2）如果高速路上設(shè)計(jì)了圓弧形拱橋做立交橋，要使汽車能夠不離開橋面安全通過(guò)圓弧拱橋，這個(gè)圓弧拱橋的半徑應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時(shí)，靠靜摩擦力提供向心力，拐彎時(shí)不產(chǎn)生橫向滑動(dòng)，汽車所需要的向心力不超過(guò)最大靜摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律求出最小半徑；
（2）要使汽車能夠不離開地面安全通過(guò)圓弧拱橋，汽車靠重力和支持力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，支持力應(yīng)大于等于零，再根據(jù)牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）汽車在水平路面上拐彎，可視為汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力是車與路面間的靜摩擦力，有：
m$\frac{{v}^{2}}{r}$≤F_m=0.6mg
由速度v=108km/h=30m/s，得到半徑：
r≥$\frac{{v}^{2}}{0.6g}$=$\frac{900}{0.6×10}$m=150m；
（2）汽車過(guò)拱橋，看作在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，有：
m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mg-N
為了保證安全，車隊(duì)路面的壓力N必須滿足：
N≥0
有：m$\frac{{v}^{2}}{r}$≤mg，
代入數(shù)據(jù)得：R≥90m，即這個(gè)圓弧拱橋的半徑至少是90m．
答：（1）如果汽車在這種高速路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，拐彎時(shí)不產(chǎn)生橫向滑動(dòng)．其彎道的最小半徑是150m．
（2）如果高速路上設(shè)計(jì)了圓弧拱橋做立交橋，要使汽車能夠不離開地面安全通過(guò)圓弧拱橋，這個(gè)圓弧拱橋的半徑至少是90m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道汽車在水平路面上拐彎靠靜摩擦力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，通過(guò)圓弧拱橋時(shí)，靠重力和支持力的合力提供向心力．