Question

如圖所示，一足夠長(zhǎng)的平板車(chē)靜止在水平地面上，右端放有質(zhì)量m₁=1.0kg的小物塊a，物塊與車(chē)的上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5物體與車(chē)之間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，距離車(chē)的右端L=11.5m處有一光滑平臺(tái)，平臺(tái)與一固定在地面上的半徑R=0.9m的光滑半圓形軌道底端相切，半圓形軌道直徑AOB豎直，車(chē)的上表面和平臺(tái)的高度相同．平臺(tái)的左端有一靜止的質(zhì)量為m₂=1.0kg的小物塊b．某時(shí)刻車(chē)在外力作用下由靜止開(kāi)始以a=5.75m/s²的加速度向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，車(chē)碰到平臺(tái)后立即跟平臺(tái)粘在一起，兩小物塊的碰撞沒(méi)有能量損失（g=10.0m/s²）
求：
（1）兩物塊碰撞前瞬間小物塊a的速度，
（2）碰撞后小物塊b能否到達(dá)半圓形軌道的最高點(diǎn)？若能到達(dá)最高點(diǎn)，求物塊在最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力；
（3）小物塊b落到車(chē)上的位置離A點(diǎn)的距離x．

Answer 1

分析：（1）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小車(chē)與平臺(tái)相碰時(shí)物塊a的速度和與小車(chē)的相對(duì)位移，車(chē)停止運(yùn)動(dòng)后，物塊a做在摩擦力作用下做勻減速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理求出兩物塊碰撞前瞬間小物塊a的速度；
（2）兩物塊碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，求出碰撞后b球的速度，假設(shè)小物塊b能到達(dá)半圓形軌道的最高點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出達(dá)到最高點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式求出b恰好到達(dá)最高點(diǎn)的速度，比較兩個(gè)速度的大小即可判斷；
（3）小物塊b在最高點(diǎn)脫離軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律即可求解小物塊b落到車(chē)上的位置離A點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）設(shè)車(chē)由靜止開(kāi)始至與平臺(tái)相撞前的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
L=

1

2

at2
解得：t=2s
因a₁=μg=5m/s²＜a
所以這段時(shí)間內(nèi)物塊與小車(chē)間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，
在t時(shí)間內(nèi)物塊的位移為：
x₁=

1

2

a₁t²=10m
車(chē)與平臺(tái)相撞時(shí)，物塊距車(chē)右端的距離為：
x=L-x₁=1.5m
此時(shí)物塊的速度為：
v₁=a₁t=10m/s
車(chē)停止運(yùn)動(dòng)后，設(shè)兩物塊碰撞前瞬間小物塊a的速度為v₂，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μm₁gx=

1

2

m₁v₂²-

1

2

m₁v₁²
解得：v₂=

85

m/s
（2）設(shè)兩物塊碰撞后的速度分別為v′₁、v′₂，兩物塊碰撞時(shí)無(wú)能量損失，碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能相等，則有：
m₁v₂=m₁v′₁+m₂v′₂

1

2

m₁v₂²=

1

2

m₁v₁′²+

1

2

m₂v₂′²
解得：v′₁=0，v′2=

85

m/s
假設(shè)小物塊b能到達(dá)半圓形軌道的最高點(diǎn)，設(shè)到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v₄，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

1

2

m₁v₂²=2m₂gR+

1

2

m₂v₄²
解得：v₄=7m/s
設(shè)物塊b恰好能到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v₀，則有
m₂g=m₂

v02

R

解得：v₀=3m/s
因?yàn)関₄＞v₀
所以能到達(dá)最高點(diǎn)．
設(shè)物塊b到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物塊的彈力為F_N，根據(jù)向心力公式有：
F_N+m₂g=m₂

v42

R

解得：F_N=44.4N
根據(jù)牛頓第三定律得：物塊剛進(jìn)入軌道時(shí)對(duì)軌道的壓力為44.4N，方向豎直向上．
（3）小物塊b在最高點(diǎn)脫離軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，有：
2R=

1

2

gt₁²
x=v₄t₁
解得：x=4.2m
答：（1）兩物塊碰撞前瞬間小物塊a的速度為

85

m/s；
（2）碰撞后小物塊b能到達(dá)半圓形軌道的最高點(diǎn)，物塊在最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為44.4N；
（3）小物塊b落到車(chē)上的位置離A點(diǎn)的距離為4.2m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)量守恒、平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理、向心力公式及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．