Question

10．如圖所示，無限寬廣的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在xoy平面內(nèi)，x軸上下方磁場(chǎng)均垂直xoy 平面向里，x軸上方的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，x軸下方的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{4B}{3}$．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電量為-q帶負(fù)電粒子以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y方向進(jìn)入上方磁場(chǎng)．在粒子運(yùn)動(dòng)過程中，與x軸交于若干點(diǎn)．不計(jì)粒子的重力．求：

（1）粒子在x軸上方磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑r₁
（2）如把x上方運(yùn)動(dòng)的半周與x下方運(yùn)動(dòng)的半周稱為一周期的話，則每經(jīng)過一周期，在x軸上粒子右移的平均速度．
（3）在與x軸的所有交點(diǎn)中，粒子兩次通過同一點(diǎn)的坐標(biāo)位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出粒子在x軸上方和x軸下方做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程，求出粒子的位移與運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出平均速度；
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡示意圖，結(jié)合半徑關(guān)系，找出粒子兩次通過x軸上同一點(diǎn)的位置，根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算這些點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子在x軸上方磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑r₁，下方磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑r₂，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r₁=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，r₂=$\frac{3m{v}_{0}}{4qB}$；
（2）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，如把x上方運(yùn)動(dòng)的半周與x下方運(yùn)動(dòng)的半周稱為一周期的話，則每經(jīng)過一周期，在x軸上粒子右移：
△x=2r₁-2r₂=$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T₁=$\frac{2πm}{qB}$，T₂=$\frac{3πm}{2qB}$，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{1}{2}$（T₁+T₂）=$\frac{7πm}{4qB}$，
速度：v=$\frac{△x}{t}$=$\frac{2{v}_{0}}{7π}$；
（3）則在每4周期剛結(jié)束時(shí)粒子第二次經(jīng)過：x₁=2r₁的這一點(diǎn)，以后每過一周期將會(huì)出現(xiàn)符合要求的點(diǎn)．
故x_t=2r₁+$\frac{（k-1）{r}_{1}}{2}$=$\frac{（k+3）{r}_{1}}{2}$=$\frac{（k+3）m{v}_{0}}{2qB}$　　k=1、2、3…；

答：（1）粒子在x軸上方磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑r₁為$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）如把x上方運(yùn)動(dòng)的半周與x下方運(yùn)動(dòng)的半周稱為一周期的話，則每經(jīng)過一周期，在x軸上粒子右移的平均速度為$\frac{2{v}_{0}}{7π}$．
（3）在與x軸的所有交點(diǎn)中，粒子兩次通過同一點(diǎn)的坐標(biāo)位置為$\frac{（k+3）m{v}_{0}}{2qB}$　k=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，理清粒子在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合洛倫茲力提供向心力和幾何關(guān)系進(jìn)行求解．