4.如圖,兩根長均為2L的圓柱形絕緣細(xì)管,用很短的一段內(nèi)壁光滑的彎道平滑連接成管道ABC.管道固定于豎直平面內(nèi),其中AC沿水平方向.∠BAC=∠BCA=θ.一柔軟均質(zhì)絕緣細(xì)繩置于管道AB內(nèi),細(xì)繩的右端剛好繞過細(xì)管B處連接一小球(直徑略小于管道內(nèi)徑),系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).已知繩和小球的質(zhì)量均為m、與細(xì)管的動摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{1}{2}$tanθ;細(xì)繩長L,小球帶電量為+q,整個系統(tǒng)置于豎直向下、場強E=$\frac{mg}{q}$的勻強電場中,重力加速度為g.現(xiàn)對小球施加一沿BC管道向下的拉力.
(1)當(dāng)小球滑動$\frac{L}{4}$時,拉力大小為F.此時小球的加速度大小a;
(2)求小球從開始運動到下滑$\frac{L}{4}$過程,系統(tǒng)改變的勢能△E;
(3)拉力至少需對小球做多少功,才能使整條細(xì)繩離開管口C?

分析 (1)以BC管道上的細(xì)繩與小球為整體,分析其受力:重力、電場力、拉力和滑動摩擦力,根據(jù)牛頓第二定律列式.再對AB管道上的細(xì)繩,由牛頓第二定律列式,即可求加速度.
(2)系統(tǒng)的勢能包括重力勢能和彈性勢能.根據(jù)重力做功和電場力做功求解.
(3)當(dāng)小球沿BC管道運動到離B點x=$\frac{L}{4}$時,若撤去拉力,此時a=0,此后小球與細(xì)繩將沿BC管道加速下滑,最終離開管道.對細(xì)繩和球系統(tǒng)運用功能關(guān)系求解.

解答 解:(1)以BC管道上的細(xì)繩與小球為整體,設(shè)B處細(xì)繩間的相互作用力大小為T,由牛頓第二定律得:
  F+($\frac{5}{4}$mg+qE)sinθ-μN-T=$\frac{5}{4}$ma   ①
  N=(qE+$\frac{5}{4}$mg)cosθ    ②
對AB管道上的細(xì)繩,由牛頓第二定律得:
  T-$\frac{3}{4}$mgsinθ-μ$\frac{3}{4}$mgcosθ=$\frac{3}{4}$ma   ③
由①②③式得:a=$\frac{F}{2m}$   ④
(2)系統(tǒng)改變的勢能
△E=△E+△E   ⑤
系統(tǒng)改變的重力勢能
△E=-mg$\frac{L}{4}$sinθ+$\frac{1}{4}$mg$\frac{3L}{4}$sinθ   ⑥
系統(tǒng)改變的電勢能
△E=-qE$\frac{L}{4}$sinθ   ⑦
由⑤⑥⑦式得:△E=-$\frac{5}{16}mgLsinθ$  ⑧
(3)由(1)問可知,當(dāng)小球沿BC管道運動到離B點x=$\frac{L}{4}$時,若撤去拉力,此時a=0,此后小球與細(xì)繩將沿BC管道加速下滑,最終離開管道.
因此,要使拉力做功最小,小球至少要到達x=$\frac{L}{4}$位置,且v=0 ⑨
從開始到x=$\frac{L}{4}$過程中,由功能關(guān)系得:WF=△EK+Q+△E′(10)
其中△EK=0 (11)
則得Q=μ(qE+mg)cosθ•x+μmgcosθ•x  (12)
由(2)問可知,x=$\frac{L}{4}$時,△E′=△E (13)
由⑨(10)(11)(12)(13)式得 WF=$\frac{1}{16}$mgLsinθ  (14)
答:
(1)當(dāng)小球滑動$\frac{L}{4}$時,拉力大小為F,此時小球的加速度大小a為$\frac{F}{2m}$;
(2)小球從開始運動到下滑$\frac{L}{4}$過程,系統(tǒng)改變的勢能△E為-$\frac{5}{16}mgLsinθ$;
(3)拉力至少需對小球做$\frac{1}{16}$mgLsinθ的功,才能使整條細(xì)繩離開管口C.

點評 對于連接體,求加速度常用有兩種方法:整體法和隔離法,要抓住加速度大小相等的特點靈活選擇解法.本題還要正確分析功與能的關(guān)系,知道重力做功多少,重力勢能減少多少,電場力做功與電勢能變化的關(guān)系與此相似.

練習(xí)冊系列答案
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A.$\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}(r-{r}_{0})^{2}}{4{π}^{2}{r}^{3}}$B.$\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}(r-{r}_{0})^{2}}{8{π}^{2}{r}^{3}}$
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16.如圖所示,一有界勻強磁場的寬度為2L,磁感應(yīng)強度為B,方向垂直紙面向里.正方形閉合線框abcd各邊電阻相同,邊長為L,在線框以速度v勻速穿過磁場區(qū)域的過程中,以下圖象中能表示a、b兩點電勢差Uab隨時間t變化的是( 。
A.B.C.D.

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13.如圖所示,活塞將一定質(zhì)量的氣體封閉在直立圓筒形導(dǎo)熱的氣缸中,活塞上堆放細(xì)砂,活塞處于靜止,現(xiàn)對氣體緩慢加熱,同時逐漸取走細(xì)砂,使活塞緩慢上升,直到細(xì)砂全部取走,若活塞與氣缸之間的摩擦可忽略,則在此過程中( 。
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