Question

7．如圖所示，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，x＜0，y＞0區(qū)域有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，x＞0，y＜0和x＞0，y＞0的分別有垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場Ⅰ和Ⅱ，勻強(qiáng)磁場Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀．一質(zhì)量為m、電量為q（q＞0）的粒子，從點(diǎn)P（-$2\sqrt{3}a$，a）開始運(yùn)動(dòng)，初速度平行于x軸向右、大小為v₀，粒子恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入勻強(qiáng)磁場Ⅰ，此后粒子恰好不再穿過y軸，不計(jì)粒子重力．求：
（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E；
（2）勻強(qiáng)磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）若粒子能通過x軸上的Q點(diǎn)，求粒子過Q點(diǎn)時(shí)的速度方向及OQ間的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解即可；
（2）運(yùn)用動(dòng)能定理求出粒子從O點(diǎn)射入磁場時(shí)的速度大小，再利用平行四邊形定則確定其方向，粒子在兩個(gè)磁場中均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力結(jié)合粒子恰好不穿過y軸的臨界幾何關(guān)系，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）分析可知若粒子能通過x軸上的Q點(diǎn)，存在兩種情況，畫出兩種情況的粒子軌跡過程圖，利用幾何關(guān)系即可求出粒子過Q點(diǎn)時(shí)的速度方向及OQ間的距離．

解答 解：（1）設(shè)粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)類平拋規(guī)律有：
x方向：$2\sqrt{3}a={v_0}t$
y方向：$a=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t^2}$
聯(lián)立兩式可得：$E=\frac{{m{v_0}^2}}{6qa}$
（2）設(shè)粒子通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)速度大小為v，
由 $qEa=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得：$v=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{v_0}$
速度方向?yàn)榕cx軸正向夾角為30°
粒子在勻強(qiáng)磁場Ⅰ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：$qv{B_0}=m\frac{v^2}{r_1}$
可得：${r_1}=\frac{mv}{{q{B_0}}}=\frac{{2\sqrt{3}m{v_0}}}{{3q{B_0}}}$
粒子在勻強(qiáng)磁場Ⅱ中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：$qvB=m\frac{v^2}{r_2}$
可得：${r_2}=\frac{mv}{qB}$
由粒子恰好不穿過y軸，根據(jù)幾何關(guān)系得：r₂+r₂sin30°=2r₁sin30°
聯(lián)立解得：$B=\frac{3}{2}{B_0}$
（3）由幾何關(guān)系可知：粒子過Q點(diǎn)時(shí)速度方向與x正半軸方向夾角為30°（可能斜向下，也可能斜向上）

①粒子斜向下通過x軸上的Q點(diǎn)時(shí)，OQ間的距離：$\overline{OQ}=n（2{r_1}sin{30°}-2{r_2}sin{30°}）=\frac{{n{r_1}}}{3}$
$\overline{OQ}=\frac{{2\sqrt{3}nm{v_0}}}{{9q{B_0}}}$ （其中n=1，2，3…）

②粒子斜向上通過x軸上的Q點(diǎn)時(shí)，OQ間的距離：$\overline{OQ}=n（2{r_1}sin{30°}-2{r_2}sin{30°}）+2{r_1}sin{30°}$
$\overline{OQ}=\frac{{2\sqrt{3}（n+3）m{v_0}}}{{9q{B_0}}}$ （其中n=0，1，2，3…）
答：（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6qa}$；
（2）勻強(qiáng)磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{3}{2}{B}_{0}$；
（3）若粒子能通過x軸上的Q點(diǎn)，粒子過Q點(diǎn)時(shí)的速度方向?yàn)榕cx正半軸方向夾角為30°（可能斜向下，也可能斜向上），OQ間的距離為$\frac{2\sqrt{3}nm{v}_{0}}{9q{B}_{0}}$（其中n=1，2，3…）或者$\frac{2\sqrt{3}（n+3）m{v}_{0}}{9q{B}_{0}}$（其中n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要畫出粒子軌跡過程圖，明確每一個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)形式，選擇合適的規(guī)律解決問題，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高，同學(xué)們要注意分析從電場進(jìn)入磁場I以及從磁場I進(jìn)入磁場II銜接點(diǎn)的速度大小和方向．本題的難點(diǎn)在于要分析出第三問存在多解．