Question

18．在真空中有大小為B=1.0T、方向垂直紙面向里的環(huán)形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，內(nèi)環(huán)半徑R₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，外環(huán)半徑R₂=1.0m．在圓心O與內(nèi)環(huán)間加上電壓U后，內(nèi)圓內(nèi)形成一個(gè)輻射性的電場(chǎng)．荷質(zhì)比為$\frac{q}{m}$=4.0×10³C/kg的帶正電的粒子由圓心O處?kù)o止釋放后經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)帶電粒子的重力．求
（1）帶電粒子不能穿越磁場(chǎng)外邊界的最大電壓U_m；
（2）當(dāng)電壓為U_m時(shí)，帶電粒子從圓心靜止釋放后第一次在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出最大速度，在加速電場(chǎng)中，根據(jù)動(dòng)能定理求解最大電壓；
（2）當(dāng)所加電壓為U_m時(shí)，從圓心釋放的帶電粒子經(jīng)電場(chǎng)、磁場(chǎng)再次回到圓心，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)周期公式結(jié)合幾何關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由圖知：
${{R}_{1}}^{2}+{r}^{2}=（{R}_{2}-r）^{2}$…①
$r=\frac{1}{3}m$…②
粒子在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，則有：$Bq{v}_{m}=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$…③
解得：${v}_{m}=\frac{4}{3}×1{0}^{7}m/s$…④
粒子在電場(chǎng)中加速，則有：$q{U}_{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$…⑤
解得：${U}_{m}=\frac{2}{9}×1{0}^{3}V$…⑥
（2）當(dāng)所加電壓為U_m時(shí)，從圓心釋放的帶電粒子經(jīng)電場(chǎng)、磁場(chǎng)再次回到圓心的軌跡如圖所示．由圖知
$tanθ=\frac{{R}_{1}}{r}$…⑦
在磁場(chǎng)中的圓心角為α=2π-2θ…⑧
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期 $T=\frac{2πr}{{v}_{m}}$…⑨
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則有：${t}_{1}=\frac{α}{2π}T$…⑩
聯(lián)立⑤～⑧解得：t₁=1.05×10^-3s
答：（1）帶電粒子不能穿越磁場(chǎng)外邊界的最大電壓U_m為$\frac{2}{9}×1{0}^{3}V$；
（2）當(dāng)電壓為U_m時(shí)，帶電粒子從圓心靜止釋放后第一次在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.05×10^-3s．

點(diǎn)評(píng) 考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律與動(dòng)能定理求解，掌握如何畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，學(xué)會(huì)求在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，難度適中．