Question

14．如圖是成都市某中學(xué)高二學(xué)生自行設(shè)計(jì)的“回旋加速器”．設(shè)計(jì)方案如下：在絕緣水平桌面上水平固定著內(nèi)壁光滑的中空絕緣細(xì)玻璃圓管道ABCD，其中空內(nèi)徑AA’遠(yuǎn)小于圓管道直徑d（即AC長(zhǎng)度為直徑d），在ABC半圓區(qū)域（包括直徑AC）加上水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度為E；現(xiàn)有一電荷量為q、質(zhì)量為m（未知）的帶正電小球距C點(diǎn)四分之一的圓周B處?kù)o止釋放．
（1）小球第一次通過D處時(shí)對(duì)管壁的壓力
（2）若玻璃管壁的任意位置的最大承受力均為F（F＞mg）；現(xiàn)僅改變電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，小球仍從B處?kù)o止釋放，到達(dá)C處時(shí)剛好能使玻璃管壁破裂，求所加的水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)的強(qiáng)度E’和此時(shí)小球的動(dòng)能E_k．

Answer 1

分析 （1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，先由動(dòng)能定理求出小球小球第一次通過D處時(shí)的速度，再由向心力公式求解小球所受的軌道的壓力，即可由牛頓第三定律求小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）小球在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)中，在C處壓力最大，在C點(diǎn)由向心力公式列式．小球第N次通過C處時(shí)，其管壁破裂，由動(dòng)能定理列式，聯(lián)立求出場(chǎng)強(qiáng)，再得到動(dòng)能．

解答 解：（1）小球第一次通過D處時(shí)速度為v₁，則由動(dòng)能定理得
  $qE•\fracm7pelfj{2}=\frac{1}{2}mυ_1^2$
在D處有：F_N=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{\frac{1}{2}d}$
解得：F_N=2qE
由牛頓第三定律得：小球?qū)ν夤鼙趬毫?$F_N^'=2qE$，方向從B→D．
（2）小球在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)中，在C處壓力最大，故小球在C處受到管壁的支持力為F
有：F-qE′=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{\frac{1}{2}d}$
設(shè)小球第N次通過C處時(shí)，其管壁破裂，有 $q{E^'}（N-\frac{1}{2}）d=\frac{1}{2}mυ_c^2$，（N=1，2，3，…）
此時(shí)${E_k}=\frac{1}{2}mυ_c^2$
聯(lián)立以上兩式解得：${E^'}=\frac{F}{（4N-1）q}$，其中N=1，2，3…${E_k}=\frac{（2N-1）dF}{8N-2}$，（N=1，2，3，…）
答：
（1）小球第一次通過D處時(shí)對(duì)管壁的壓力大小為2qE，方向從B→D．
（2）所加的水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)的強(qiáng)度E′為$\frac{F}{（4N-1）q}$，其中N=1，2，3…．此時(shí)小球的動(dòng)能E_k為$\frac{（2N-1）dF}{8N-2}$，（N=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要理解加速器的工作原理，分析圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，由動(dòng)能定理研究速度，要注意圓周運(yùn)動(dòng)的周期性．