Question

14．如圖所示，兩個(gè)可導(dǎo)熱的氣缸豎直放置，它們的底部都由一細(xì)管連通（忽略細(xì)管的容積）．兩氣缸各有一個(gè)活塞，質(zhì)量分別為m₁和m₂，活塞與氣缸無(wú)摩擦．活塞的下方為理想氣體，上方為真空．當(dāng)氣體處于平衡狀態(tài)時(shí)，兩活塞位于同一高度h．（已知m₁=2m，m₂=m） 
（1）在兩活塞上同時(shí)各放一質(zhì)量為m的物塊，求氣體再次達(dá)到平衡后兩活塞的高度差（假定環(huán)境溫度始終保持為T₀）．
（2）在達(dá)到上一問的終態(tài)后，環(huán)境溫度由T₀緩慢上升到1.25T₀，試問在這個(gè)過程中，氣體對(duì)活塞做了多少功？（假定在氣體狀態(tài)變化過程中，兩物塊均不會(huì)碰到氣缸頂部）．

Answer 1

分析 （1）開始時(shí)兩缸內(nèi)的氣壓相等，從而可得出兩活塞的面積關(guān)系，兩活塞上同時(shí)各加一質(zhì)量為m的物塊后，就打破了原有的平衡，面積小的活塞會(huì)下沉，直至面積小的活塞移到底部，再確定左側(cè)氣體的狀態(tài)參量，整個(gè)過程是等溫變化，由氣體的狀態(tài)方程可得出左缸氣體的高度，即為兩活塞的高度差．
（2）緩慢升溫氣體發(fā)生等壓變化，根據(jù)蓋呂薩克定律求體積變化，求出活塞移動(dòng)的距離，根據(jù)W=Fl求功

解答 解：（1）設(shè)左、右活塞的面積分別為S'和S，由于氣體處于平衡狀態(tài)，故兩活塞對(duì)氣體的壓強(qiáng)相等，即：$\frac{2mg}{s^'}$=$\frac{mg}{s}$    由此得：S′=2S              
在兩個(gè)活塞上各加質(zhì)量為m的物塊后，假設(shè)左右兩活塞仍沒有碰到汽缸底部，由平衡條件：P_左=$\frac{3mg}{2s}$，P_右=$\frac{2mg}{s}$，P_左＜P_右，則右活塞降至氣缸底部，所有氣體都在左氣缸中  
在初態(tài)，氣體的壓強(qiáng)為$\frac{mg}{s}$，體積為3Sh；
在末態(tài)，氣體壓強(qiáng)為$\frac{3mg}{2s}$，體積為2xS（x為左活塞的高度） 
由玻意耳定律得：$\frac{mg}{s}$•3Sh=$\frac{3mg}{2s}$•2xS                   
解得：x=h，即兩活塞的高度差為x=h                      
（2）當(dāng)溫度由T₀上升至T=1.25T₀時(shí)，氣體的壓強(qiáng)不變，設(shè)x'是溫度達(dá)到T時(shí)左活塞的高度，由蓋•呂薩克定律得：x'=$\frac{T}{T_0}$x=1.25h
活塞對(duì)氣體做的功為：W=FS=3mg（x'-x）=0.75mgh    
答：（1）在兩活塞上同時(shí)各放一質(zhì)量為m的物塊，氣體再次達(dá)到平衡后兩活塞的高度差為h
（2）在達(dá)到上一問的終態(tài)后，環(huán)境溫度由T₀緩慢上升到1.25T₀，在這個(gè)過程中，氣體對(duì)活塞做功0.75mgh

點(diǎn)評(píng) 解答該題要注意兩個(gè)方面，一是根據(jù)平衡求解兩活塞的面積的關(guān)系，二是當(dāng)兩活塞上放上相同質(zhì)量的物體后，要會(huì)判斷出面積小的活塞下移，直至移到底部，這是解決此題的關(guān)鍵．