Question

7．頂端開(kāi)口底端封閉、足夠長(zhǎng)的光滑水平玻璃管內(nèi)，其底端固定一原長(zhǎng)為L(zhǎng)、勁度系數(shù)為k的輕彈簧，彈簧另一端連著質(zhì)量為m的小球，如圖所示．現(xiàn)使玻璃管繞其底端緩慢旋轉(zhuǎn)，直至玻璃管豎直向上，在此過(guò)程中，下列情況可能的是（　�。�

• A． 小球到原水平面的距離不斷增大
• B． 小球到原水平面的距離不斷減小
• C． 小球到原水平面的距離先增大后減小
• D． 小球到原水平面的距離先減小后增大

Answer 1

分析 使玻璃管繞其底端緩慢旋轉(zhuǎn)，直至玻璃管豎直向上，小球始終處于平衡狀態(tài)，抓住小球重力沿斜面方向上的分力與彈簧彈力大小相等，得出形變量的變化，從而得出小球到原水平面的距離的關(guān)系式，通過(guò)關(guān)系式判斷其變化．

解答 解：設(shè)玻璃管轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，則有 mgsinθ=kx
則得，彈簧的壓縮量 x=$\frac{mgsinθ}{k}$．
小球到原水平面的距離 h=（L-x）sinθ=（L-$\frac{mgsinθ}{k}$）sinθ=-$\frac{mg}{k}$（sinθ-$\frac{kL}{2mg}$）²+$\frac{k{L}^{2}}{4mg}$．因?yàn)閟inθ＜1．
所以當(dāng)彈簧原長(zhǎng)L一定，則球的質(zhì)量m足夠大時(shí)，$\frac{kL}{2mg}$＜1，則h先增大后減�。�
當(dāng)球的質(zhì)量m一定，則彈簧的長(zhǎng)度L足夠小時(shí)，$\frac{kL}{2mg}$＜1，則h先增大后減小．故C正確，A、B、D錯(cuò)誤．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，通過(guò)二次函數(shù)的方法并對(duì)sinθ的討論得出高度的變化，是常用的函數(shù)法．