Question

【題目】質(zhì)量為m的登月器與航天飛機(jī)連接在一起，隨航天飛機(jī)繞月球做半徑為3R（ R為月球半徑）的圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它們運(yùn)行到軌道的A點(diǎn)時(shí)，登月器被彈離, 航天飛機(jī)速度變大，登月器速度變小且仍沿原方向運(yùn)動(dòng)，隨后登月器沿橢圓登上月球表面的B點(diǎn)，在月球表面逗留一段時(shí)間后，經(jīng)快速起動(dòng)仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)A與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接。若物體只受月球引力的作用，月球表面的重力加速度用g月表示,已知科學(xué)研究表明，天體在橢圓軌道上運(yùn)行的周期的平方與軌道半長(zhǎng)軸的立方成正比。求：

（1）月球的第一宇宙速度是多少?

（2）登月器與航天飛機(jī)一起在圓周軌道上繞月球運(yùn)行的周期是多少？

（3）若登月器被彈射后,航天飛機(jī)的橢圓軌道長(zhǎng)軸為8R，則為保證登月器能順利返回A點(diǎn)，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（其中，n=1、2、3、…）

【解析】（1）假設(shè)登月器在近地軌道運(yùn)動(dòng)則有①

在月球表面的物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力，
即： ②

聯(lián)立①②解得。

（2）設(shè)登月器和航天飛機(jī)在半徑的軌道上運(yùn)行時(shí)的周期為T，
因其繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，所以應(yīng)用牛頓第二定律有： ③
在月球表面的物體所受重力近似等于萬(wàn)有引力，
即④

聯(lián)立③④解得： 。

（3）設(shè)登月器在小橢圓軌道運(yùn)行的周期是，航天飛機(jī)在大橢圓軌道運(yùn)行的周期是
對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開普勒第三定律分別有： ⑤
⑥
為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間t應(yīng)滿足： （其中， ） ⑦
聯(lián)立③④⑤⑥得： （其中， ）。