Question

11．2012年10月，美國耶魯大學(xué)的研究人員發(fā)現(xiàn)了一顆完全由鉆石組成的星球，通過觀測發(fā)現(xiàn)該星球的半徑是地球的2倍，質(zhì)量是地球的8倍．設(shè)在該星球表面附近繞星球運行的衛(wèi)星的角速度為ω₁，線速度為v₁，在地球表面附近繞地球運行的衛(wèi)星的角速度為ω₂、線速度為v₂，則$\frac{{ω}_{1}{v}_{1}}{{ω}_{2}{v}_{2}}$為（　�。�

• A． 8
• B． 4
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 對星球表面和地球表面的衛(wèi)星，分別根據(jù)萬有引力提供向心力列式，求出角速度之比和線速度之比，最后綜合得出結(jié)果．

解答 解：在星球表面根據(jù)萬有引力提供向心力，有：
$G\frac{{M}_{1}^{\;}m}{{R}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}=m{ω}_{1}^{2}{R}_{1}^{\;}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{1}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}$，${ω}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{1}^{\;}}{{R}_{1}^{3}}}$
在地球表面根據(jù)萬有引力提供向心力，有：
$G\frac{{M}_{2}^{\;}m}{{R}_{2}^{2}}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}=m{ω}_{2}^{2}{R}_{2}^{\;}$
解得：${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{2}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}}$，${ω}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{2}^{\;}}{{R}_{2}^{3}}}$
$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{1}^{\;}}{{M}_{2}^{\;}}\frac{{R}_{2}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{8}{1}×\frac{1}{2}}=2$
$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{1}^{\;}}{{M}_{2}^{\;}}\frac{{R}_{2}^{3}}{{R}_{1}^{3}}}=\sqrt{\frac{8}{1}×（\frac{1}{2}）_{\;}^{3}}=1$
所以有$\frac{{ω}_{1}^{\;}{v}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}{v}_{2}^{\;}}=\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}×\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=1×2=2$，故C正確，ABD錯誤；
故選：C

點評 求一個物理量之比，我們應(yīng)該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再根據(jù)表達式進行比較．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．