Question

15．如圖，半徑R=2m的光滑圓弧軌道ABC與足夠長的傳送帶CD在C處平滑連接，O為圓弧軌道ABC的圓心，B點為圓弧軌道的最低點．半徑OA、OC與OB的夾角分別為53°和37°．傳送帶以v=2m/s的速度沿順時針方向勻速轉(zhuǎn)動，將一個質(zhì)量m=1.0kg的煤塊（視為質(zhì)點）從A點以初速度v₀=1m/s沿圓弧切線拋入軌道，經(jīng)B、C兩點后滑上傳送帶．已知煤塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=l0m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）煤塊第一次到達圓弧軌道ABC上的C點時對軌道的壓力大��；
（2）煤塊滑上傳送帶后距離C點的最大距離；
（3）煤塊第一次離開傳送帶前，在傳送帶CD上留下痕跡的最大長度．（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）煤塊從運動到C點的過程中，只有重力做功，由機械能守恒定律求出煤塊經(jīng)過C點的速度，然后由牛頓第二定律求出軌道對煤塊的支持力，從而得到煤塊對圓弧軌道的壓力大小；
（2）煤塊滑上傳送帶后分析其運動情況，由牛頓第二定律求出加速度，再由位移速度關(guān)系公式求距離C點的最大距離．
（3）由位移時間公式求出煤塊第一次在傳送帶上運動的總時間，然后求出煤塊與傳送帶間相對路程，即得到了在傳送帶CD上留下痕跡的最大長度．

解答 解：（1）煤塊從A至B點的過程，由機械能守恒定律得：
  mgR（cos37°-cos53°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在C點時，由牛頓第二定律得
     F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得  F_N=12.5N，v_C=3m/s                  
由牛頓第三定律知，煤塊第一次到達圓弧軌道ABC上的C點時對軌道的壓力大小 F_N′=F_N=12.5N．
（2）因v_C=3m/s＞v=2m/s，所以在煤塊的速度達到與傳送帶速度相等之前，沿傳送帶向上以加速度a₁勻減速運動，由牛頓第二定律得
    mgsin37°+μmgcos37°=ma₁；
因μ＜tan37°，故火葬場的速度與傳送帶相等之后，煤塊沿傳送帶向上以加速度a₂勻減速運動至速度為0，由牛頓第二定律得
    mgsin37°-μmgcos37°=ma₂；
解得 a₁=10m/s²，a₂=2m/s²．
煤塊的速度與傳送帶速度相等之前，在傳送帶上相對C點發(fā)生的位移 x₁=$\frac{{v}_{C}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{9-4}{2×10}$=0.25m
煤塊的速度與傳送帶速度相等之后，繼續(xù)上行到速度為0的過程，煤塊又發(fā)生的位移 x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{4}{2×2}$=1m
故煤塊滑上傳送帶后距離C點的最大距離 x=x₁+x₂=1.25m
（3）設(shè)煤塊第一次在傳送帶上運動的總時間為t，對煤塊從滑上到滑下傳送帶的整個過程，由運動學(xué)公式得：
      x=$\frac{1}{2}{a}_{2}（t-\frac{{v}_{C}-v}{{a}_{1}}-\frac{v}{{a}_{2}}）^{2}$
解得 t=（1.1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）s≈2.22s
由題意可知，煤塊在傳送帶CD上留下痕跡的最大長度為
   L=vt+$\frac{（{v}_{C}-v）^{2}}{2{a}_{1}}$≈4.5m
答：
（1）煤塊第一次到達圓弧軌道ABC上的C點時對軌道的壓力大小是12.5N；
（2）煤塊滑上傳送帶后距離C點的最大距離是1.25m；
（3）煤塊第一次離開傳送帶前，在傳送帶CD上留下痕跡的最大長度是4.5m．

點評 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運動情況，判斷煤塊與傳送帶速度相等后受力情況，來分析運動情況．要知道加速度是聯(lián)系力和運動的橋梁，在動力學(xué)問題，加速度往往是必求的量．